［坡仔跟你一起阅读好书·第八十一期］《X的奇幻之旅》Part 1 数字——第六章 从笨拙的罗马数字到美妙的阿拉伯数字

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第六章    从笨拙的罗马数字到美妙的阿拉伯数字

       我路过伊兹拉·康奈尔先生的铜像至少数百次，却从来没有仔细地观察过这个绿色雕像。有一天，我鬼使神差地在铜像前停下来，仔细地观察了一番。

       康奈尔先生的铜像看起来粗犷凝重。他穿着长大衣、马夹和靴子，右手放在手杖上，还拿着一顶皱巴巴的宽檐帽。这座雕像把他表现得朴实无华、坦诚直接，让人不由心生亲切之感——伊兹拉·康奈尔先生的性格正是如此。

       相比之下，雕像底座上的生卒年月却显得十分刺眼和突兀。它是用浮夸虚华的罗马数字来标示的。底座上写着:

       伊兹拉·康奈尔

       MDCCCVII-MDCCCLXXIV

       到底为什么不能用阿拉伯数字写成1807~1874呢?罗马数字虽然华丽，却是难读又难写。我认为务实的康奈尔先生才不会有耐心读这种复杂的数字呢。

       在古代，找到一种简单明了的数字系统一直都是一个难题。从人类文明开始之初，我们的祖先就尝试了很多不同的计数系统，用来记录和计算数字。因为不管是从事贸易、测量土地，还是清点牲口，都需要把各种各样的数字记录下来。

       只要我们粗略地研究一下人类发明的种种计数系统就会发现，它们有一些高度一致的共同点。这些共同点是由我们人类的生理特性决定的，人类进化过程中种种偶然和必然因素的共同作用，使得我们人类的两只手掌恰好各有5 根手指。因此，5这个数字成为人类通用的一个计数单位。比如说，在最原始的“符木棍”计数系统中，17这个数字是这样表示的:

       在上图中，我认为每根竖线都是以手指作为原型的。每组中出现的横线，则可能是从拇指的形象演化而来的。你看，每组的5根线像不像一只拇指弯向手掌的手呢?

       和上面这个朴实无华的符木棍计数系统相比，浮夸的罗马数字只不过稍微进化了一点儿。在1、2、3的罗马数字写法(I、II、II)中，我们可以清晰地看到上述符木棍计数系统的痕迹。罗马数字的5写作V，这个符号同样让我们联想到符木棍计数系统中的那根代表拇指的横线。4在罗马数字里有两种写法:一种是IIII，完全和符木棍计数系统一致(在很多风格华丽的钟表上都能看到这种写法);另一种更常见的写法则是把4表示为IV。在IV这种写法中，左边的I表示你应该从V(5)中减去I(1)，而如果这个I写在V的右边，则表示应该把V(5)和I(1)相加;V代表阿拉伯数字4，而VI则代表阿拉伯数字6。

       古巴比伦人发明的计数系统和上述系统的差别较大。古巴比伦人似乎没有那么钟情于他们的手指，他们的计数单位不是5，而是60。我十分佩服古巴比伦人的高贵品位，因为数字60是一个超凡脱俗、美丽动人的数字，它的美完全出自天然，和人类的喜好毫无关系。数字60是能被1、2、3、4、5和6都整除的最小整数。也许你会觉得，数字10、12、15、20、30也是不错的选择，但如果我们的计算涉及把整体等分成一定数目，那么用60作为计数单位就会显示出极大的优势。今天，我们仍然把1个小时的时间分为60分钟，把每分钟分为60秒，把圆周定为360度，这些计数方法都是在向古巴比伦人致敬。

       但是，六十进制并不是古巴比伦人最传奇的数学贡献。古巴比伦人最伟大的数学贡献在于，他们提出了一个直到今天仍然通行全世界的想法。如今，这个想法看起来太过正常，已经很少有人去深思和体会其中的巧妙了。

       为了解释清楚古巴比伦人的这个伟大、卓越的想法，我们先来看看如今通用的阿拉伯数字，因为阿拉伯数字以较现代的方法运用了古巴比伦人的这个巧思。阿拉伯数字并不是六十进制的，我们的计数系统基于10个数字:1、2、3、4、5、6、7、8、9，以及伟大的0。这10个小家伙被我们称为“数字”，英文词汇为digit，这个词的拉丁语词根的意思是“手指”或者“脚趾”。(多么自然!)

       在数学领域，这是一个天才又伟大的发明，因为虽然这个计数系统是十进制的。但它却并没有用一个专门的符号来表示10。相反的，10的概念是用“数位”来表示的，这个系统创造了“十位”(即从右往左数的第二位)来表示10这个概念。依此类推，这个计数系统里还有“百位”、“千位”、“万位”等，不论是10的几次方，均有相应的“数位”。虽然对今天的我们来说，这种计数系统是司空见惯、不足为奇的。但在数学史上，这实在是一个极其伟大的发明。计数的单位(如10进制里的10)不再用一个符号来表示，而是用一个位置来表示，就像一个停车位、一个专属地盘就像商业上常常用到的一个口号:“位置!位置!位置!”位置才是王道!

       和这种优雅简练的“数位+数值”的计数系统相比较，罗马数字的计数系统简直可以用野蛮来形容:你需要10?没问题，X就是10。你需要100?没问题C就是100。你需要1000?没问题，M就是1000。不仅如此，对5、50和500，罗马数字也都有相应的符号，那就是V、L和D。

       罗马数字计数系统秉持的原则是:选择一些重要的数字(1、5、10、50、100等)，并赋子这些数字相应的特殊符号。然后，其他的所有次要数字均表示为重要数字的加减法组合。

       遗憾的是，罗马数字计数系统在现实中用起来实在是不方便，只要被表达的数字超过几千，这个系统基本就瘫痪了。为了解决这个问题，中世纪的学者们研究出了一套修补方法，在原有的罗马数字上面加上横线，表示原来数字的1000倍，这种蹩脚的方法使得罗马数字计数系统在数字较大的情况下勉强能用。比如，X表示10。那么X表示10000M表示1000，那么M表示1000000。一般来说，不需要用到10亿以上的数字，但是万一有需要的话，只要在M上再加一条横线就行了。如此一来，这个系统虽然笨拙又丑陋，但你却可以按此规则写出任意大的数字来。

       现在我们再来看今天流行的阿拉伯数字计数系统，就会发现这个看似平凡的计数系统有多么先进了。因为有“数位”的概念，即便再大的数字，写起来都不费力气。因为有了“数位”的概念，无论是什么数字，都可以用0至9这10个数字来表示，你所要做的只是把这10个数字放到正确的位置上去。除此之外，简洁也是阿拉伯数字系统的一个极为突出的优点。任何10万以下的数字都不会超过6位。同样的数字你试试用文字、符木棍或是罗马数字计数系统来表示，你就会知道阿拉伯数字有多讨人喜欢了。

       最重要的是，有了这种“数位+数值”的计数系统，普通人也能学会做算术。你只需要掌握一些最基本的原则，如借位法、进位法、乘法口诀表等，加减乘除运算就都不算困难的事情。这些简单的法则适用于任何数字，只要掌握了这些法则和技巧，不管是一组什么样的数字，不管数字有多大，计算起来都很简单。

       有了阿拉伯数字计数系统，数字运算完全变成了一种机械的程序化活动。这正是这种“数位+数值”计数系统的优越之处。在这种计数系统的基础上，我们完全可以把数学运算的工作交给机器去完成。从最原始的数学计算器，到今天的超级计算机，运算自动化的程度在不断提高，这些都是以“数位”这一优美又伟大的概念为基础的。

       在这里，我们必须特别表扬一下幕后英雄数字0。如果没有0的存在，这一整套“数位+数值”的计数系统就会立即崩塌。如果没有0发挥强大的占位功能，那么10100和1000看起来就会一模一样了。

       任何“数位+数值”的计数系统都需要一个计数单位，这个单位被称为“进制”。我们的阿拉伯数字计数系统是十进制的，也就是计数单位为10。在英语中，十进制的单词写作decimal，这个词的拉丁语词根decem正是“十”的意思。从右向左数第一位是个位，然后依次是十位、百位、千位等。每一个“数位”都代表10的几次方，比如:

       10=10的一次方

       100=10x10=10的二次方

       1000=10x10x10=10的三次方

       正如前文所提到的，我们选择十进制很可能是因为人类恰好有10根手指。这种选择是基于人类的生理特点，而非基于逻辑推理。那么，这很容易让人产生以下的疑问:十进制是不是最优的呢?还有没有比十进制更好用、更有效率的进制?

       这是一个很好的问题。实际上，二进制也是一种十分好用的计数系统。大家都知道，如今我们使用的各种电子产品，从电脑到手机、数码相机，都是基于著名的二进制系统。二进制系统的优越性在哪里呢?在各种进制中，二进制所需要的符号最少:只要有0和1这两个数字就够了。大部分电子元件恰好有开和关这两种状态这和二进制的特性配合得天衣无缝。事实上，任何有两个状态的原件(开或关，敞或闭等)都很适合采用二进制系统。

       对于普通人来说，二进制的计数法有点儿别扭，需要一定的时间才能用得习惯。二进制系统仍然有“数位”的概念，但是，每一位不再是10的n次方，而是2的n次方。十进制系统有个位、十位、百位、千位等，而二进制系统则是个位、二位、四位、八位等。这是因为:

​       2=2的一次方

       4=2x2=2的二次方

       8=2x2x2=2的三次方

       当然，事实上，在二进制系统中，2并不是记作2，因为“2”这个符号在二进制系统里是不存在的。就像“10”在十进制系统里并不是一个单一的数字，而是由两个数位上的数字组合而成的。在二进制中，阿拉伯数字2记作10，表示一个2和零个1。同样，阿拉伯数字4在二进制中记作100(一个4，零个2，零个1)，而阿拉伯数字8则表示为1000。

       二进制在现实世界中的应用，远远不只局限在数学领域中。毫不夸张地说，二进制的力量改变了整个世界。在过去的几十年中，科学家们发现，其实所有的信息都可以用二进制的编码来表达。也就是说，除了数字以外，语言、图像、声音也都可以表达为一连串的0和1。

       说到这里，让我们再回到本章开头谈到的伊兹拉·康奈尔先生的雕像。

       在雕像的背面，有一台电报机。这台电报机几乎完全被康奈尔先生的雕像所遮挡，一点儿也不起眼，但这台机器却证明了康奈尔先生对人类的巨大贡献——康奈尔先生曾和莫尔斯电码的发明人塞缪尔·莫尔斯一起，创建了西联汇款，他们创立的电报事业把整个北美大陆更紧密地联系在了一起。

       康奈尔先生白手起家，他从一个不起眼的小木匠慢慢地成长为一名成功的企业家。他曾在塞缪尔·莫尔斯手下工作。莫尔斯先生的名气可能比康奈尔先生还要大、他的名字永远存在于“莫尔斯电码”之中，被人们所铭记。莫尔斯电码的那一串串符号，把英语简化成为一个电报键就可以传输的信号。其实，莫尔斯电码那两个小小的符号，就是今天计算机系统中0和1编码符号的前身。

       在莫尔斯先生的鼓励下，康奈尔先生建成了美国的第一条电报线路，这条电报线路连接了美国巴尔的摩市和首都华盛顿特区。也许，从一开始，康奈尔先生就清楚地知道这些符号有着多么巨大的发展潜力。1844年5月24日，这条电报线路正式开通，莫尔斯先生发出了世界上的第一条电报，这条电报的内容是:“上帝创造了何等的奇迹!”