［坡仔跟你一起阅读好书·第八十二期］《X的奇幻之旅》Part 2 数字之间的关系——第七章 X的乐趣与股票的盈亏

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第七章 x的乐趣与股票的盈亏

       现在，我们要从小学算术升级到高中数学的水平了。在接下来的10章内容中，我将带大家重新复习一遍代数、几何和三角函数的相关知识。请不要紧张，我知道很多读者都已经完全忘记了这些知识，但是不要紧。请放心，这一部分的结尾并没有设任何考试或测验内容。在此，我们不会纠结于这些数学内容复杂的细节或技巧。我们要做的是，气定神闲地游览赏玩一下这些数学分支中最美丽、优雅、影响最深远的重要思想。

       首先，我们来看看代数知识。代数是令很多人头痛不已的科目:复杂的符号、定义、解法，通通混在一起，令人头晕目眩、无所适从。但是，代数的本质其实是很简单的，所有这些复杂的过程，都只为了两个目的:一是解出x，二是对公式进行各种运用。

       解出x，类似于一种侦破类的工作。x是一个未知数，就像未知的罪犯一样，我们的目标是，千方百计地找出这个未知数。正像侦破工作一样，两手空空是不可能破案的，我们会收集到一些关于罪犯的线索。在代数中，寻找未知数也是根据线索进行的。线索的形式主要有两种，一种是等式的形式，如2x+3-7，另一种是文字描述的形式(害怕文字题的同学请举手)。不管线索是什么样的形式、侦探的目标都只有一个:找出“罪犯”——未知数X。

       如果说寻找x的过程是侦破和追踪的过程，那么公式的运用则可以说是科学和艺术的结合。在运用公式的过程中，我们不是着眼于一个单一的x，而是对整个算式进行变换。不管公式中填人怎样的数字，这些数字之间的关系都仍然成立，这些可以变换的数字，我们称它们为“变量”。变量的引入，正是代数区别于算术的地方。

       有时候，一个公式只是单纯地表达出数字之间的某种优雅的、美丽的关系。这是代数的艺术性。而有时候，公式所表达的数字之间的关系是和现实世界中的种种现象息息相关的，比如，一个公式可以表达自然界中物体的自由落体运动的规律，可以解释天体的运行轨道，可以描述一个种群中某种基因的出现频率等。代数在现实世界中的应用，展现了代数的科学性。

       把代数分为两个领域(一是解出x，二是公式的运用)并不是一种标准的分类方法(其实，这种分类方法是我的个人发明)，但我认为这种分类方法相当实用。在下一章中，我将和大家详细讨论如何解出未知数x的问题，而这一章的重点是公式和公式的运用。现在，我先来举几个简单的例子，希望可以把我想阐述的理念说得更加清楚。

       我有两个女儿，大女儿叫利亚，小女儿叫乔。几年前，我的小女儿乔从自己和姐姐身上得到了一个重大发现。乔对我说:“爸爸，我发现我和姐姐的年龄之间总是隔着一个数字。现在我6岁，姐姐8岁，我们的年龄之间隔着数字2。过几年，等我长大了，比如说当我20岁、姐姐22岁的时候，我们的年龄之间仍然会隔着数字2!”

       乔的这个发现属于代数的范畴，(虽然别人可能不会承认这一点，但是作为一名骄傲的父亲，我一定要坚持这一说法!)因为她发现了两个变量之间的一种关系:她的年龄x和她姐姐的年龄y，这两个变量虽然一直在变，但它们之间的关系却始终不变。不管我的两个女儿如何成长，利亚永远会比乔大两岁:y-x+2。

       代数就是这样一种语言，它用最自然的方法描述变量之间的关系。想要流利地掌握这种语言并不容易，我们需要一定的练习才能熟练地使用它。为什么呢?因为在代数这门语言中，存在着一些陷阱，法语称这些陷阱为“fauxamis”，意思是“假的朋友”。所谓“假的朋友”，就是指两种语言中(此处的两种语言是日常用语和代数语言)的两个词语，听起来是相关联的，好像是一个意思、实际上翻译过来却是两个截然不同的意思。

       比如，一条走廊的长度是y码，如果换算成英尺则是f英尺。那么，你能用公式表达出y和f的关系吗?

       我有一位朋友名叫格兰特·威金斯，他是一位教育咨询家。威金斯曾多次用这道题目考过一些学生和老师。据威金斯说，一半以上的学生都会给出错误的答案。就算这些学生刚刚顺利地通过了代数考试，也还是会在这道题上“栽跟头”。

       怎么样，你要不要试一试?如果你觉得答案是y=3f，那么恭喜你，你也加入了这道题的“答错俱乐部”!

       这么简单的题目，怎么会出错呢?y=3f简直就是照“1码等于3英尺”这句话直译过来的。但是，只要你试着代人几个数字，你就会发现这个公式写反了。比如说，走廊的长度是10码，人人都知道10码等于30英尺。但是，当你把y=10、f=30代入上述公式的时候，你就会发现这个公式根本不对。

       正确的公式应该是f=3y。在这个公式里，3的意思是“每码为3英尺”。当你用码数y乘以每码3英尺，“y码”的码和“每码3英尺”的“码”相互消去，得数的单位就变成了英尺，这才是我们想要的正确答案。

       在面对这种问题的时候，坚持带着计量单位进行运算，并确保计量单位能够互相消去，最后得到正确的得数，就可以避免上述错误。比如说，在第5章中，我们曾经讲过一个威瑞森公司的客服经理和顾客争执的故事。如果这位经理在运算的时候能注意数值的计量单位，我想她就不至于分不清美元和美分，也就不会闹出那么大的笑话了。

       有一类特殊的公式被称为恒等式。还记得代数课上的因式分解和多项式乘法吗?那时候，你的操作对象就是恒等式。现在，你在生活中还是可以用到恒等式你可以用它们来表演一些余兴数学“特技”，让你的朋友们对你刮目相看。著名的物理学家理查德·费曼就曾被这样的“特技”震撼过，虽然费曼的反应也很快，还善于速算和心算。费曼是这样讲述这个故事的:

       在洛斯阿拉莫斯工作的时候，我发现汉斯·贝特的计算能力非常强。比如说，有一次我们试着把几个数字代入一个等式，当需要计算48的平方数是多少时，我立刻伸手去拿计算器，可是汉斯·贝特不假思索地告诉我:“48的平方数是2300。”我半信半疑地按着计算器的按钮，贝特补充说道:“准确地说48的平方数是2304。”

       果然，我按下计算器的等号按钮后，计算器显示的结果是2304。我满怀佩服地对贝特说:“哇，你太厉害了!”

       贝特回答说:“50附近数字的平方数算起来是有捷径的，你不知道吗?你只要先计算50的平方数，也就是2500，然后算出50和你所要计算的数字的差，用这个差乘以100，再用2500减去这个乘积就可以了。要算48的平方数的话，50减去48等于2，用2500减去200，得数就是2300。但是，这是一个比较粗略的得数。如果你要精确的结果的话，那就再算出50和你所要计算的数字的差的平方，与上面的粗略得数相加即是精确得数了。也就是，2300加上2的平方数(4)，最后的结果等于2304。”

       贝特的速算能力给费曼留下了深刻的印象。那么，贝特所说的算法，到底是用了什么样的原理呢?其实，他就是用到了恒等式:

       (50+x)的平方-2500+100x+x的平方

       贝特把这个恒等式背了下来，当需要计算48的平方数时，他只要将x=-2代入上述恒等式就可以得到答案。

       为了对上面的恒等式有一个更深的了解，我们不妨借助图像的帮助。想象我们有一块正方形的地毯，地毯的边长是50+x。

       显然，这块地毯的面积就是(50+x)的平方数，下面，我们来看看这块地毯的面积是由哪几个部分构成的。首先，这块地毯包括一个边长为50的正方形区域(其面积为2500);然后还有两个一模一样的50xX的长方形(面积分别为50x，所以两个长方形的面积之和是100x);最后，我们还剩下一个边长为x的小正方形，这个小正方形的面积就是贝特给出的矫正项。

       恒等式表现出数字之间的关系，这种关系不仅对贝特和费曼那样的理论物理学家有用，对普通人也同样有用。

       比如，任何投资股市的人都可以用到一个和上文中贝特给出的恒等式类似的恒等式。假设某一年间股市低迷，你的投资组合惨痛地缩水50%，然后第二年间股市反弹，你的投资组合又涨了50%，那么你最终是赚了还是赔了呢?答案是，虽然第二年股市反弹，但最终你的投资组合和两年前的初始价值相比仍然赔掉了25%。为什么呢?原因在于，第一年你的投资组合跌了1/2，年末价值是初始值乘以0.5。第二年股价又上升了50%，所以第二年年末的最终价值等于第一年年末价值乘以1.5。最终，你的投资组合的价值是初始值乘以0.5，再乘以1.5，也就是初始值的0.75。所以说，你仍然赔掉了25%的本金。

       事实上，如果你的投资组合在两个相邻的年份中一赔一赚，那么不管你是先赔再赚还是先赚再赔，只要赚和赔的比率数值一样，最后算算净值你一定是赔钱的。因为我们有如下这样一个恒等式:

       (1-x)(1+x)=1-x的二次方

       在赔钱的那一年，你的股票账户的市值缩水，缩水的幅度是1-x(比如，在上文中.x=0.5)。然后在赚钱的那一年，你的股票账户又增值了，增值的幅度是1+x。所以，两年过去后，你的股票账户净值发生了如下变化:

       (1-x)(1+x)

       根据上文的算式，股票账户的净值变化为:

       ​1-x的二次方

       重点是，只要x的值不是0，那么1-x的平方的值永远是小于1的。所以在上述情况下(两个相邻的年份一赔一赚，赚和赔的比率数值一样)，你永远无法完全挽回损失。

       显然，上述公式是一个比较简单的公式。事实上，各种变量之间的关系千变万化，很多公式会比上面的例子复杂得多。然而，代数的魅力是如此之大，人们总喜欢在各种各样的领域中用公式限定一些变量之间的关系，即使有时候这些公式是武断和没有道理的。比如，在恋爱方面，有种观点认为情侣之间的年龄差距不应该过大。到底年龄差距多大算是过大呢?很多网站给出了这样一个魔法公式，如果你的年龄是x，那么你的恋人的年龄必须大于x/2+7。

       也就是说，如果一位82岁的老先生想追求一位48 岁的中年女士，那就太可怕、太不合适了，就算这位女士处于单身待嫁的状态也绝对不行。但是，如果这位老先生的年龄是81岁，那么他追求一位48 岁的女士就完全合理。

       唉，这让我该怎么说呢......