［坡仔跟你一起阅读好书·第八十三期］《X的奇幻之旅》Part 2 数字之间的关系——第八章 求根难题与虚拟的复数
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第八章 求根难题与虚拟的复数
2500多年来，一代又一代的数学家使出浑身解数，千方百计地想要解出未知数x的值。解出未知数x的过程又叫作“求根”的过程。在人类思想史上，不断地挑战更难、更复杂的方程式，求解方程的根的过程，已经化作了一首首伟大且光辉的史诗。
被记载下来的最早的求根难题之一，出现在公元前430年的提洛岛。当时，提洛岛上发生了瘟疫，岛上的居民十分烦恼。为了解决岛上的瘟疫问题，居民们虔诚地求助于德尔斐神谕。神谕告诉岛民们，想要解决瘟疫，他们需要把阿波罗神的正方体祭坛的体积扩大一倍。不幸的是，当时的数学还没有那么发达，要把正方体形状的祭坛体积扩大一倍，就必须先计算出2的立方根，而当时的人们并不知道如何进行这样的计算。那时候，希腊人的几何工具只有两种:一是直尺，二是圆规。
后来，人类慢慢地探索出了这类问题的解法。但是，有一小块阴云却总是挥之不去，那就是，即使在人们发现了这类问题的解法以后，最终的结果中却常常会包含负数的平方根。这种根的产生时常受到嘲笑和质疑，因为负数的平方根看起来意义不明，甚至自相矛盾。
直到公元1700年左右，数学家们才就这个问题达成了共识:他们认为负数的平方根应该是不存在的。
首先，负数的平方根不能是一个正数，因为正数乘以正数总是等于正数，而我们要求这个数的平方根是负数。然后，负数的平方根也不能是负数，因为我们知道负负得正，负数乘以负数也应该是正数。看起来，没有任何数字乘以自己本身以后会得到一个负数。
这是数学史上的一次危机。这样的危机也不是第一次发生了，每当一个现存运算方法的应用范围不断扩大，最终进人到一个它似乎不适用的领域时，都会产生这样的危机。比如小数减去大数就必须引人负数的概念(见第3章)，除法的发明所产
生的问题迫使我们发明小数和分数(见第5章)。平方根的问题最终使得数字的领域又一次被扩展了。
与前面那些危机相比，这一次的危机更加难以解决，也造成了更多的痛苦和挣扎。这些痛苦和挣扎的痕迹一直保留到了今天。直到今天，-1的平方根仍然用符号i来表示，而i代指imaginary，是“虚构、想象”的意思。
这种新的数字(如果你是一名不可知论者，你可能会拒绝称它为“数字”，而只承认它是一种“符号”)的性质是这样定义的:
i的平方=-1
你可能立即会说，数轴上找不到i这个数字。你说的一点儿都没错。从这个意义上来说，i是一种非常奇怪的数字，它比零、负数、分数，甚至无理数还要奇怪，不管怎么说，零、负数、分数、无理数在数轴上都还有它们的一席之地。
但是，只要有足够的想象力，我们也可以想象出这样的一个i。它不存在于数轴上，而是存在于一条和数轴垂直的轴上，这条轴叫作虚轴。当你把这条我们想象出来的轴和我们熟悉的数轴融合起来的时候，我们就不再只有一条线，而是得到了一个2D空间——呈现出一个面——它就是我们给新型数字制造的生存空间。
这些新型的数字叫作“复数”。“复数”的“复”并不是“复杂”的意思，而是“复合”的意思。复数包含两种数，它们是实数和虚数，这两种数组合在一起，就组成一种“混合”的数，比如2+3i。
复数是非常伟大的发明，复数是数学的巅峰。复数有着实数的一切美好性质，你可以对它们进行加减乘除的运算。但复数却比实数更好，因为复数的根永远存在。你可以计算一个负数的平方根、立方根或者任何根，这些根仍然会是一个复数。
更美好的是，我们还有一个相关的伟大定理，那就是代数基本定理。代数基本定理告诉我们:任何多项式的根一定是复数。这个定理的重要之处在哪里呢?它意味着漫长的旅途终于走到了目的地，从此以后，数字的范围再也不需要扩大了!在这条漫漫长路上，我们人类走了很多年，这条路的起点是1，终点和最高峰则是复数。
如果我们能使复数图像化、视觉化，你可能更容易欣赏到复数的美(即使没有达到那种程度，你也可以对它多一些了解和信任)。讲到这里，重点是搞清楚“乘以1的过程到底是一个什么样的过程。假设我们用去乘以任意一个正数，比如说乘以3，那么我们就会得到一个虚数:3i。
从上图中可以看出，用i乘以一个数的过程从图像上来说是一个逆时针旋转 90度的过程。进行运算之前，实数3是一个方向朝东、长度为3的箭头;而进行运算之后，这个箭头逆时针旋转了90 度，成为一个长度不变，但是方向朝北的新箭头。
因此，复数是电气工程师们的好朋友。有了这种简洁的方法来表示90度的旋转，处理电压、电流，或是电场、磁场的变化问题就方便多了，因为在这些问题中振动或者波动的频率常常出现1/4周期(即90度)的相位相差。
实际上，几乎所有领域的工程师都离不开复数。在航空航天工程领域中，复数帮助我们简化了机翼升力的计算;在土木和机械工程领域，工程师们利用复数来分析人行天桥的振动、摩天楼的晃动，以及路面不平时车辆的振动情况。
通过观察这种90度的旋转，我们也能够更好地理解i的平方=-1的真正含义。既然一个正数乘以i意味着相应的箭头逆时针方向旋转90度，那么如果我们用i的平方去乘以一个正数，这个正数所对应的箭头就会逆时针方向旋转180度(两个90度之和)。也就是说，原本朝东的箭头现在朝西了。
回忆一下，当我们用一个正数乘以-1，这个正数就变成了负数，相应的箭头逆时针方向旋转了180度，和上面乘以产的结果完全吻合。这就是为什么i的平方=-1。
在信息技术高度发展的今天，电子计算机给复数注人了新的活力，一些有着数千年历史的求根问题也有了新的进展。不要小看你桌上放置的小巧的个人电脑，在它们不用忙着传输网络数据或收发电子邮件的时候，它们的闲余计算能力已经足够解决很多我们祖先想都不敢想的数学问题了。
1976年的时候，我在康奈尔大学的同事约翰·哈伯德开始从事牛顿法的研究。牛顿法是一种在复数域上求方程近似解的非常强大的算法。首先，牛顿法会选取一个初始值(对方程根的初始估计值)，然后用一定的算法来提高和改善这个初始值，进一步接近方程的真实根。通过不断重复这个过程，每一个循环都用上一个循环的终值来作为初始值，牛顿法可以一步步地接近方程的真实根，最终求得误差很小的近似解。
哈伯德感兴趣的是有多个根的方程式。对于有不止一个根的方程式来说，上述的牛顿法最终会找到哪一个根呢？经过研究，哈伯德证明，如果一个方程式有两个根，那么牛顿法最终会找出距离初始值较近的那个根。但对于有3个或更多根的方程式，哈伯德有点儿一筹莫展了，因为对于有两个根的方程式的求解方法并不适用于有3个或更多根的方程式。
为了解决这个问题，哈伯德决定采取实验的方法。他的这种实验叫作“数值实验”。
具体的实验方法是，找一台计算机，编写好程序，让这台计算机多次运行牛顿法。然后，哈伯德让程序把数百万个不同的初始值用彩色点标注出来，最终收敛为同一个根的初始值点就标示为同一种颜色。并且，哈伯德按照不同初始值收敛速度的不同，给这些初始值点赋予了不同的明暗度。
在得到实验结果之前，哈伯德的预期是这样的:每个根应该能够快速地“抓住”距离它们较近的初始值点，因此这些初始值点的明度就会较高。所以，哈伯德认为最终的图像应该是几块交汇的色块，离真实的根越近的地方越明亮，离真实的根越远的地方越暗淡。但是，这几个色块的边缘交汇处会呈现什么样的情况呢?哈伯德想不清楚这个问题，在实验结果出来前，他没有办法预测出边缘交汇处的情况。
结果，电脑给出了非常令人吃惊的结果。
色块交汇的边缘区域看起来非常特别，形状很抽象。在这些边缘地带，色彩以一种令人无法相信的混乱状态交叠在一起，每一种颜色和另一种颜色在无数个点交汇，而且每次不是两种颜色交汇，而是3种颜色交汇。也就是说，只要是任何两种颜色碰到一起的地方，第三种颜色就会立即加人其中，和另两种颜色混合到一起。
当哈伯德把边缘地带的图像放大，他发现形状里还有较小的形状，较小的形状里又有更小的形状。
这种结构在数学上被称为“分形”。分形是一种复杂的几何形状，分形的微观结构是不断重复的，也就是说每一部分都是整体缩小后的形状。
此外，哈伯德还发现，不同色块的边缘地带是混沌的。有时两个初始值点一开始非常接近，它们会肩并肩地一起震荡一阵子，然后突然转向，奔赴两个截然不同的根。对于边缘地带的初始值点来说，最后会收敛向哪一个根是完全无法预测的，就好像轮盘赌最终会停在哪个数字上是完全无法预测的一样。初始状态的一些极其微小、难以察觉的因素会极大地影响最终结果。
哈伯德所做的上述工作是“复杂动力学”领域的先驱工作。“复杂动力学”这个新兴的学科结合了混沌理论、复分析理论，以及分形几何的内容。在某种层面上，我们可以说“复杂动力学”让几何学又一次找到了它的“根”。印度曾发现一份公元前600年的梵文手稿，这份手稿是写给寺庙建筑工人的一份说明书，里面详细地描述了如何用几何的方法求平方根，以满足寺庙里祭坛的建设需要。2500多年以后的1976年，数学家们又一次展开了“求根”的研究，不同的是，如今这份求根的说明不再用梵文写就，而是用二进制的程序代码写成。
也许，不管人类进化到了哪一步，我们永远都离不开某些“虚构”的伙伴一复数。