［坡仔跟你一起阅读好书·第八十四期］《X的奇幻之旅》P2 数字之间的关系—第九章 应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第九章 应用题:冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间?

       欧文叔叔是我爸爸的弟弟，他和我爸爸一起在镇上经营着一家鞋店。欧文叔叔大部分时间都待在鞋店楼上的办公室里，负责处理财务方面的事情。这是因为欧文叔叔虽然很有数学头脑，却不善于跟顾客打交道。

       在我10岁或11岁的时候，欧文叔叔给我出了我人生中的第一道应用题。直到今天，我仍然清楚地记得那道题目，我想大概是因为当时我把这道题目做错了，而且为此羞愧了好长时间，所以我才会记得这么清楚。

       这道应用题是关于往浴缸里灌水的问题:如果只开冷水龙头，灌满浴缸需要半个小时;如果只开热水龙头，灌满浴缸需要1个小时。问:如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，灌满浴缸需要多长时间?

       我清楚地记得我的答案是45分钟，当然我完全是瞎猜的，我相信不少人都会想到45分钟这个答案。听到我的答案后，欧文叔叔摇了摇头、咧嘴笑了，然后，他开始用他那带着鼻音的尖细嗓音给我讲解这道题。

       欧文叔叔说:“史蒂芬，你先要搞清楚每分钟有多少水流进浴缸。”冷水龙头30分钟能灌满浴缸，也就是说每分钟可以灌满浴缸的1/30。而热水龙头的水流量比较小，60分钟才能灌满浴缸，也就是说热水龙头每分钟可以灌满浴缸的1/60。那么，当你把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌人浴缸的水流量就是:

       1/30+1/60

       分数的加法运算怎么做呢?首先我们应该观察到，60是30和60的最小公倍数，所以，我们需要先把30改写成6于是:

       1/30+1/60=2/60+1/60

                      =3/60

                      =1/20

       可见，如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌满浴缸的 1/20。也就是说，20分钟就可以灌满整个浴缸。

       从那天以后，我不时会回想起欧文叔叔出的这道往浴缸里灌水的应用题。每次想起这道题，都会激起我对欧文叔叔的感情，以及我对这道题本身的兴趣。我觉得这道题里有一些更大的道理值得我们学习，那就是，当我们无法得到一个问题的准确答案时，如何快速求得问题的近似解呢?又应该如何用直觉来解题呢?用直觉解出一道题时，我们常常会获得一种茅塞顿开的快乐。

       首先，我们来考虑一下我最初瞎猜的答案:45分钟。我们只要思考两种极端情况，就可以立刻判断出45分钟这个答案绝对不可能是正确答案。实际上，45分钟这个答案是十分荒谬的。为什么这么说呢?让我们考虑一下这种情况:如果根本不开热水龙头，而只开冷水龙头，那么冷水龙头会在30分钟内把整个浴缸灌满。所以，不管欧文叔叔出的这道应用题的答案是什么，答案都绝对要少于30 分钟。因为不管怎么说，让热水龙头来帮助冷水龙头一起灌水，绝对没有理由会延长水灌满浴缸的时间。

       当然，这个结论是很粗略的。得出这个结论以后，我们还是不知道同时打开两个水龙头到底需要多久才能灌满浴缸，在这个意义上，欧文叔叔的算法给出的信息量显然更大。但是，我的这种粗略的推导方法却有着欧文叔叔的算法所不具备的优点:我的方法并不涉及任何具体的计算。

       另一种简化问题的方法是:假设这两个水龙头的灌水速度是一样的。比如说，我们假设单独开冷水龙头或者热水龙头，都能在30分钟内灌满浴缸(也就是说，假设热水龙头的水流量和冷水龙头的水流量相同)。现在的问题就很简单了，因为新的假设创造出了原题所没有的“对称性”(即两个水龙头的水流量相同)，所以我们可以立即判断出，冷热水龙头一起开，灌满浴缸需要的时间是15分钟(因为水流量加倍了，所以灌满浴缸的时间应该减半)。

       这种假设还可以立刻告诉我们，问题的精确解应该是大于15分钟的。为什么呢?因为我们夸大了热水龙头的水流量。两个水流量较大的水龙头灌满浴缸所需要的时间，显然应该大于一个水流量大、一个水流量小的两个水龙头灌满浴缸所需要的时间。欧文叔叔原题中的两个水龙头，一个水流龙头水流量大，一个水龙头水流量小，而我们现在假设两个水龙头都是大水流量的水龙头。既然两个大水流量的水龙头一起灌满浴缸需要15分钟的时间，那么一个大水流量的水龙头和一个小水流量的水龙头一起灌满浴缸所需要的时间，就必然超过15分钟。

       以上，我们考虑了两种假设:一种是假设只开冷水龙头而关闭热水龙头，另一种是假设热水龙头的水流量和冷水龙头的水流量相同。通过考虑这两种极端情况，我们可以知道，此题的精确解应该是大于15分钟而小于30分钟的。在有些情况下，问题会比欧文叔叔的浴缸灌水问题更复杂。在有些情况下，精确解是不可能求得的，这种情形不仅在数学领域存在，在其他领域中也十分常见。在这样的情形下，上文的这种分析思路能帮我们确定精确解的范围，为我们提供非常有用的信息。

       就算问题没有那么复杂，就算我们有幸能够得到问题的精确解，上面的这种分析方法仍然是有用的。有时，通过上面的这种思路，可以找到更简洁或是更清晰的解题思路。这是数学问题中我们可以自由发挥创造性的地方。

       比如，再回到欧文叔叔给我出的这道应用题上。欧文叔叔给出的解法是教科书上的标准解法，这种解法不仅涉及分数，还用到了最小公倍数的知识。其实，这道题还有别的更有意思的解法，其结果和欧文叔叔的答案是完全一致的。这个解法是我又年长了几岁以后才想出来的。当时，我回忆了一下欧文叔叔的问题，并且问我自己:为什么最初我会觉得这道题如此复杂，如此令人糊涂呢?答案是:因为两个水龙头的水流量是不一样的，所以我才搞不清楚;两个水龙头的水流量的差异是这道题目的难点。因为两个水龙头的水流量不同，要搞清楚同时灌水时每个水龙头分别灌了多少水，就变得比较麻烦。一冷一热两个水龙头同时放水，这些水又同时流进浴缸里，完全混到了一起:当我在脑海中想象出这么一个画面时，我的脑袋就像那个浴缸一样，混乱一片，完全摸不着头绪。

       怎么解决这个问题呢?其实非常简单，既然水的混合容易让人犯糊涂，我们不妨把两个永龙头彻底分开，让它们分别负责往不同的浴缸里灌水。我们可以发挥想象力。对题目稍作变动:现在我们不只是有一个浴缸和两个水龙头了，我们有一冷一热两个水龙头，每条水龙头下面都有一个传送带，传送带上排满了一个又一个的空浴缸。这两个传送带是完全分离的，冷水龙头和热水龙头分别有自己的传送带。如下图所示。

       在这样的假设条件下，冷水龙头和热水龙头是完全独立、互不干扰的。两个水龙头分别往不同的浴缸中灌水，完全不存在冷水和热水混合的情况。传送带是这样设计的:每当前一个浴缸灌满了水，传送带就会自动向前滚动，把后面的一个空浴缸送到水龙头下方，让水龙头继续灌水。

       如此一来，问题就变得简单多了:60分钟以后，热水龙头正好灌满了入个浴面而冷水龙头已经灌满了传送带上的2个浴缸(因为冷水龙头灌满一个浴缸只需要30分钟)。也就是说，两个水龙头同时打开，60分钟共计灌满了3个浴缸，那么灌满一个浴缸需要多长时间呢？显然是60分钟的1/3，也就是20分钟。

        究竟为什么大家(包括童年时候的我)在猜这道题的答案时会给出45分钟这个答案呢?为什么我们的第一反应总是去求解30分钟和60分钟的平均值呢?我也不知道。我想一种可能的解释是，听到这道题以后，我们的直觉自动开启了“模式识别”的功能，但可惜我们的直觉识别出了错误的“模式”。因为有些和这道题十分类似的题目，答案确实是两个数字的平均数，而我们的直觉把浴缸问题和那些问题弄混了，才会错误地给出45分钟的答案。

       当我和我的太太讨论这个问题为什么会出错的时候，我的太太用类比的方法给出了她自己的解释。她说，可以考虑这样一个问题，假设有一位老奶奶要过马路:如果无人帮助，老奶奶过马路需要耗时60秒钟;而你单独过马路则走得很快，只要30秒钟就够了。那么，要是你去搀扶老奶奶，你们手挽着手一起过马路需要多长时间呢?这个题目的答案就是45秒钟，因为过马路的过程中，老奶奶一直挽着你的胳膊，她能获得一些动力，所以她会比单独走的时候速度快一些;而你因为老奶奶的关系，速度会比自己单独走的时候慢一些。

       那么，浴缸问题和老奶奶过马路问题的区别到底在哪里呢?那就是，你和老奶奶一起过马路的时候，你们会互相影响对方的速度。而在浴缸问题中，两个水龙头虽然同时在放水，但是灌水的速度是完全不受对方影响的。你和老奶奶是互相影响的，而两个水龙头是互相独立的，这是这两道题的本质区别。可惜我们的潜意识没有那么敏锐，无法第一时间发现这个重要区别。尤其是当我们急于立刻给出答案的时候，我们就在直觉思维的带领下直奔那个错误的答案去了。

       好吧，只要我们能认识到自己错在哪里，那么即使是错误的答案也有它的教育意义。这个错误的答案让我们看到，我们的思维多么容易被错误的类比或毛躁粗心的判断所误导。在认清了自己所犯的错误以后，我们对这一类问题也有了更清晰、更深刻的认识。

       很多经典的应用题都含有一些故意设计出来的陷阱，使得解题的人很容易受到误导。这种伎俩就像魔术师使用的华丽的障眼法。很多应用题的问法中故意埋藏了些文字陷阱，如果你凭直觉回答，就会掉入这些陷阱。

       比如，有这样一道题目:3个人可以在3小时内漆完3段篱笆，那么1个人漆完1段篱笆需要几个小时呢?

       听到这道题目以后，很多人会脱口而出:“1个小时。”这绝对是不假思考的答案。这道题读起来就跟顺口溜似的:3个人、3段篱笆、3个小时。这句话在你的脑海中建立起了一个鼓点般的韵律，所以当看到下一句——1个人、1段篱笆、（ ）个小时——的时候，你会情不自禁地想在空格处填上一个1。这种条件和问题的平行结构使得人们很容易给出一个语言音律学上感觉正确，但是数学计算上却完全错误的结论。这就是这道题的陷阱所在。

       事实上，这道题的正确答案应该是3个小时。

       如果你借助一点儿视觉上的帮助，在头脑中想象出题目里描述的画面——3个人在漆3段篱笆，并于3个小时以后同时完工——那么正确的答案就很容易得到了。3个小时结束的时候，3段篱笆都要油漆完毕，如果每人负责漆一段篱笆，显然，这个人要花整整3个小时的时间才能漆完这一段篱笆。

       ​能不被表象所迷惑，冷静客观地审题，是答对本题的关键。在各种五花八门的应用题中，我们应该学习和训练自己的这种能力。这种题目强迫我们停下来，用一种我们所不熟悉的方式冷静地分析和思考。这样的题目，能够很好地训练我们的思维能力和分析能力。

       但是我觉得，这还不是应用题最大的好处。应用题最大的好处在于，它不仅锻炼了我们关于数字的思考和分析能力，还让我们学会思考和分析数字与数字之间的关系(例如水龙头的出水速度和灌满浴缸所需时间之间的关系)。这种能力是每个学生在学习数学的道路上都必须掌握的。不掌握这种能力，就无法迈入数学学习的下一个阶段。很多人都缺乏这种能力，有些人始终无法熟练地掌握分析数字与数字之间关系的技巧。这并不奇怪，毕竟数字和数字之间的关系，比数字本身要抽象得多。

       但是，大家应该明白这样一个道理:数字和数字之间的关系，比数字本身要有用得多，也深刻得多。在我们的宇宙中，我们周围万事万物的内在逻辑，都可以用数字与数字之间的关系来表示。因与果、供与求、输人和输出、措施和效果，这些逻辑关系都可以抽象地表示为数字与数字之间的关系。正是因为数字和数字的关系如此重要，我们的数学教育里才会引人大量绕来绕去的应用题。这些应用题并不是为了为难我们，而是为了培养和锻炼我们的思维能力，让我们更好地掌握数字与数字之间的关系。

       尽管如此，也有人对应用题的存在提出了一些批评意见。数学家和畅销书作者基思·德夫林曾经发表过一篇文章，题为“应用题的问题”。在这篇文章中，德夫林指出，应用题隐含着一种“潜规则”:首先，出题者假设你懂得游戏规则，然后，只要你选择做这道题，你就被默认为接受这道应用题的游戏规则。但是，这种游戏规则往往是人为生造的，有时候，有些规则甚至是非常生硬而荒唐的。

       比如，在我们上文引用的3个人3个小时油漆3段篱笆的应用题里，题面就隐含了以下两个假设:首先，3个人刷油漆的速度是完全一样的;其次，每个人都是匀速粉刷篱笆，中间没有人加速，也没有人减速。其实，上述两个假设都是很不现实的。但是作为解题人，你必须知道这道应用题里的这些潜台词，并且默认这些假设是成立的。因为如果不知道或不承认这些假设的话，这道题就太过复杂，而且因为信息不足而根本无法解答。如果你纠结于其中的细节，你就必须知道以下的所有信息:每个粉刷匠到底以一种什么样的速度在漆篱笆?是不是到了第3个小时，大家的体力都下降了，因此粉刷的速度就减慢了?如果情况是这样，粉刷速度究竟如何随时间减慢?每个粉刷匠隔多久会停下来休息，每次休息多久?诸如此类。显然，如果考虑这些问题，这道应用题根本就没办法解答。

       从德夫林的角度来看，上述这些情况是应用题这种出题形式的“问题”和“漏洞”，但我觉得，对于我们这些从事数学教育的人来说，我们完全可以把这些问题和漏洞转化成应用题的“特色”。在出题的时候，我们应该明确题目中的这些隐含的假设，还应该告诉学生们，之所以需要做出这些理想化的假设，是因为只有这样才能简化问题，抓住问题的关键矛盾。千万别小看了这项能力，知道如何抓住问题的关键矛盾，而把次要的情况通过理想化的假设尽量简化，这个过程叫作“数学建模”。当各个领域的科学家把数学应用到各种实际问题中的时候，他们都一定会完成这个“数学建模”的过程。和大部分应用题的命题人不同的是，科学家们通常会认真、严谨、明确地列出模型中用到了哪些假设，而在应用题中，这一步往往被省略掉了所以有时难免造成一些误解和争议。

      说到这里，我想要再次感谢我亲爱的欧文叔叔:谢谢你给我出了我人生中的第一道应用题，谢谢你给我上了一堂如此重要的数学课。那道我没能答对的应用题让我羞愧了很长时间，却也给了我很多正面的启迪和教育。