［坡仔跟你一起阅读好书·第八十六期］《X的奇幻之旅》Part 2 数字之间的关系——第十一章 函数：你能把一张纸对折8次以上吗？

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第十一章 函数:你能把一张纸对折8次以上吗?

       如果你是一个狂热的20世纪80年代电视剧的爱好者(暴露年龄了)，你一定熟悉一部名为《蓝色月光侦探社》的电视剧。这部电视剧的主演是布鲁斯·威利斯(饰演戴维·艾迪森)和斯碧尔·谢波德(饰演麦迪·海耶斯)。在这部电视剧中，男女主角是两个爱说俏皮话的私家侦探。此剧因为幽默机智的对话和男女主角的配合默契而深受观众喜爱。

       ​在其中一个案件的侦破过程中，男主角戴维问验尸官的助手:“你觉得最有可能犯案的嫌疑犯是谁?”验尸官的助手回答说:“这可真是问倒我了。你知道，有件事我一直很不理解......”戴维打趣道:“一直很不理解?莫非你说的是对数?"时候，女主角麦迪瞪了戴维一眼，可是戴维理直气壮地抢白道:“怎么?莫非你敢说你懂得对数?”

       这个有点儿毫无逻辑的对话，生动地说明了很大一部分美国人对于对数的看法首先，“对数”这个名字听起来既抽象又艰深，让人心生恐惧。很多人从走出高中的门以后就再也没有使用过对数(至少没有有意识地使用过对数)。虽然对数其实会默默地出现在我们日常生活的很多地方，但人们还是选择忽略它、无视它，把对数的知识毫无保留地还给中学数学老师。

       其实，不光是对数，中学代数二阶课程和微积分预备课程里教的很多其他函数也同样有着被遗忘的命运，比如幂函数或者指数函数。很多人对这些数学知识的感想就是:天啊，那是一些什么鬼玩意儿?我为什么要学习这些东西啊?在这一章节里，我的目标就是带你认识和了解这些“鬼玩意儿”，体会它们的美好和精妙之处就算你从没有使用过计算器上的指数按钮、对数按钮、幂函数按钮，对它们多些了解也毫无坏处。

       数学家们需要函数，就像建筑工人需要锤子和钻头一样。锤子和钻头能把原材料变成我们想要的东西，函数也有着这样的功能。数学家们常常把运用函数的过程称为“转化”的过程，这正是在强调函数这方面的功能。但是，锤子和钻头所处理的原材料是木材、钢铁，而函数处理的原材料却是数字、图形，或者另一个函数。

       为了解释清楚这个概念，让我们先把方程y=4-x的平方的图像画出来看看。还记得数学课上学过的画函数图像的步骤吗?首先，我们要画出一个坐标轴，水平的是x轴，竖直的是y轴。然后，我们选取一些x值，并对于每一个x值，计算出相应的y值。每一组对应的x值和y值可以表示为xy平面上的一个点。比如说，当x取1的时候，y=4-x的平方=4-1=3。所以，这组x和y的值所对应的点就是(1，3)，我们可以把这个点画到x平面上去。多取几个不同的x值，重复上面的步骤，我们就得到了下图。

       为什么这个函数的图像会呈弓形呢?因为有一把看不见的数学“镊子”正在悄悄地使劲。在这个关于y的方程中，x被“转化”成了x的平方，这种转化的工具就像日常生活中我们使用的镊子一样，能够对被转化物施加拉力，使被转化物弯曲。本来，我们的原材料可以看作x轴上的一小段线段，它是完全水平的，经过这个方程的转化，这一小段原材料的每一个点都受到了拉力的作用，就像被镊子夹起来一样，原材料被弯曲拉长了，形成了我们在上图中看到的弓形。

       上面我们谈到的是方程中x的部分，那么，y=4-x的平方中的这个常数4又起到了什么作用呢?同样用五金工具进行类比，这个常数4就好像把一幅画挂在墙上的那枚钉子一样。这枚钉子将拉开的弓形向上提起，固定在y轴上4的位置上。就像钉子不会改变弓的形状一样，常数4也不会改变函数的形状，它只是把这个图形的所有点都向上提高了4个单位而已，我们给这类“工具”起了一个统一的名字，叫作“常数函数”。

       上面的这个例子很好地诠释了函数的双重作用。一方面，函数和五金工具一样，是一种可以转化原材料的工具，x的平方能把x轴的一段拉伸变弯，而4则能把整个图形向上提。另一方面，函数又相当于工具所处理的原材料，4和-x的平方都是函数的零部件它们共同组合成了一个更复杂的函数4-x的平方，就好像电线、电池、晶体管等零部件可以组成一台收音机一样。

       当你了解了函数的双重作用，你就会发现生活中处处都有函数。上面的这个形或者说拱门形的东西，它的学名叫作“抛物线”。抛物线是平方函数的学名、生活中处处都能见到抛物线，也就意味着平方函数常常在我们周围出没。不管是喷泉形成的水柱，还是篮球运动的轨迹，都有二次函数的身影。如果你什么时候去美国的底特律国际机场转机，别忘了留几分钟时间逛逛达美航空的候机楼，那里的喷泉组是世界上最壮观的抛物线表演之一。

       从抛物线和常数出发，我们可以推广得到一类更为广阔的函数:幂函数。幂函数的形式为x的n次方。在幂函数中，未知数x被连乘n次，n是一个给定的已知数。比如对于抛物线函数来说，n=2，而对于常数函数来说，n=0。

       只要改变n的值，我们就能得到一系列非常方便好用的数学工具。比如，一次函数(n-1)是一个斜坡，它可以很好地描述速率稳定的增长或是衰减的过程。一次函数又叫作线性函数，因为在xy平面上，一次函数的图像是一条直线。如果外面在下着一场速度均匀的雨，你把一个铁桶放在室外，那么桶内的积水量和时间的关系就是一种线性关系，这种关系可以用一次函数来表示。

       另一个非常有用的工具是平方反比例函数，也就是n=-2所得到的幂函数。平方反比例函数可以很好地描述波或者力在三维空间中传播时的衰减情况。比如，要研究一个声音如何随着传播距离的变化而越变越轻，就要用到平方反比例函数。

       在各行各业中，科学家们和工程师们都会大量运用幂函数，它们能够非常好地表达和描述相对平缓的增长或者衰减的过程。

       如果我们想要着手处理一些更刺激、更惊险的东西，就需要拿出我们的另一组利器:指数函数。指数函数能够很好地描述爆炸性增长，比如核能源或核武器的链式反应，以及培养皿中细菌的高速繁殖。通常，大家最为熟悉的指数函数是以10为底数的指数函数10的x次方。注意指数函数和之前我们讨论过的幂函数的区别:在指数函数中，我们的指数(x)是一个未知数，而底数(10)则是一个常数;而在幂函数(如x的平方)中,情况则恰恰相反。这个形式上的差别看起来微不足道，但幂函数和指数函数却有着极大的区别:当x越来越大，x的指数函数最终会比x的任何幂函数增长得都快，而不管幂函数的n取多大的数字。所谓的“指数增长”是一种人类几乎难以想象的极高速的增长方式。

       正是出于这个原因，把一张纸对折7次或8次以上，成为一个几乎不可能完成的任务。每对折一次，纸的厚度就会增加一倍，如果不断地对折一张纸，纸的厚度就会呈指数增长。同时，纸的长度每对折一次会缩小1/2，所以纸的长度在不断成折的过程中会呈指数减小。对于一张普通的便笺纸来说，对折7次以后，纸张的得度就会超过其长度，在这种情况下，是没有办法再次将这张纸对折的。这和折纸人有多大力气没有任何关系。在数学上，所谓一张纸被对折过n次，也就是说折字的纸必须在一条直线上有2n层，而当纸的厚度已经大于它的长度时，这个条件是不可能满足的。

       因为上述理由，很多年来，没有人能够把一张纸对折8次以上，直到2002年一位名叫布兰妮·加利文的女高中生完成了这个“不可能的任务”。首先，加利文姑娘推导出了一个公式:

       在这个公式中，L是纸张的长度，T是纸张的厚度，n是这张纸能被对折的最大次数。从这个公式中可以清楚地看出，这个任务之所以那么困难，就是因为有两个2的n次方存在:其中一个2的n次方表示每对折一次纸张的厚度就会翻倍，另一个2的n次方则表示每对折一次纸张的长度就会减半。

       根据这个公式，加利文算出，她需要一卷特制的厕纸，这卷纸大约有3/4英里长(相当于1207米)。2002年1月，加利文买到了能满足她的要求的厕纸，她在美国加利福尼亚州波莫纳市的一家购物中心里铺开了这卷厕纸，开始进行这项伟大的工程。7个小时以后，在父母的帮助下，加利文把这张纸对折了12次，一举打破了世界纪录。

       理论上，指数增长是你致富的希望。假设你把钱存在银行里，每年的年利率是r，那么一年以后，你的存款会变成本金的(1+r)倍:两年以后，你的存款会变成本金的(1+r)的平方倍:x年以后，你的存款会变成本金的(1+r)的x次方倍。这就是我们所说的“复利”，即传说中“滚雪球”的魔力，这种现象的本质其实也是指数增长。

       现在，让我们回到本章一开始就提到的对数。为什么我们需要对数?因为很多时候，我们需要一些反向的工具，用于消除某种其他工具产生的效果。就像每一个办公室文员都需要一台订书机和一台订书针拆除器一样，每一个数学家都需要指数函数和对数函数。是的，对数函数是指数函数的逆运算。也就是说，如果你往计算器中输人一个数字x，按下10的x次方按钮，然后再按下logx按钮，那么计算器就会给出你输入的那个数字。例如，如果x取2,10的x次方就是10的平方也就是100。然后再计算log(100)，我们得到的结果等于2。在计算器上，logx按钮可以抵消10的x次方按钮的功能，所以 log(100)=2。同样，log(1000)=3，log(10000)=4，因为1000=10的三次方，10000=10的四次方。

       看出其中的神奇之处了吗?当log后面括号里的数字以乘法增长，每次增长10倍，从100增长到1000，再从1000增长到10000的时候，它们的对数却以加法增长，每次增长1，从2增长到3，再从3增长到4。当我们听音乐的时候，我们的大脑也在进行一种类似的工作。音的频率do、re、mi、fa、sol、la、ti、do听起来像是一步一步、一阶一阶地增长的，但其实这些音的震动频率是以乘法的方式成倍增长的。看!我们人类其实是用对数的方法来识别音阶的。

       在很多领域，对数使得计数变得更加简洁明了:从衡量地震强度的里氏震级，到化学中衡量酸碱度的pH值，这些读数或指标其实都是对数。当需要衡量的数量大的极大、小的极小，横跨的范围很宽的时候，对数的引入能起到压缩作用，压缩后的数据更直观易懂，便于比较和分析。比如说100和1亿之间相差100万倍，这个差距太大，以至于一般人的头脑已经无法理解这个差距的具体含义了。但是，100和1亿的对数只差4倍(100的对数是2，1亿的对数是8，因为100=10的二次方，100 000 000=10的八次方)。在日常对话中，我们会说某人的年薪是6位数，意思是某人的年薪在100000~999999美元之间。这种说法其实也用到了对数的概念，这个庞大的年薪数额的对数不正好是6左右吗?准确地说，这个范围内的年薪数额的对数在5到6之间。

       幂函数、指数函数、对数函数，这些数学工具实在是相当巧妙和实用。但是，数学家的工具箱有时也有点儿“纸上谈兵”的味道。正是因为工具的局限性，我至今也没能成功地组装起我从宜家家居买来的那个书架。