［坡仔跟你一起阅读好书·第八十八期］《X的奇幻之旅》Part 3 形状——第十三章 感性与逻辑兼备的几何证明方法
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第十三章 感性与逻辑兼备的几何证明方法
每一门数学课都一定有一个臭名昭著、惹人生厌的部分。算术学中最烦人的是长除法;代数学中最令人讨厌的是运用题;几何学呢?好吧，我知道人人都恨证明题。
对于刚开始学习几何学的学生来说，大部分人在此之前完全不知道证明题是什么。初次看到数学证明题，有人会觉得新奇，但更多的学生会觉得头晕目眩、深受打击。也许，数学证明就像药品一样，需要在上面贴上一个警示标签才好，比如:
警告!本证明可能导致头晕及强烈睡意。长时间接触数学证明可能会产生如下副作用:夜间盗汗，惊厥恐惧。极少数患者可能会患上欣快症。使用前请务必咨询医生的专业意见。
虽然数学证明如此令人迷惑不解，但学习数学证明的方法却是一种非常有益的教学活动。很多人认为，数学证明的技巧本身并不重要，重要的是在学习证明方法的过程中，学生们能够很好地锻炼他们的头脑，学会清晰而有逻辑的思维方式。也就是说，我们之所以要掌握几何学，并不是为了掌握三角、圆，以及平行线的性质、而是为了学会数学证明背后的思维方法，学会如何用严密的逻辑语言进行一步步的推论和证明，直到得到我们想要的结论为止。
这套数学证明的方法是由欧几里得在2300年前发明的。数学证明法最早见于欧几里得所著的《几何原本》。到目前为止，《几何原本》是人类历史上重印次数最多的教科书。自发明之日起，欧几里得几何学一直被人们奉为严密逻辑思考的典范不管是在科技领域还是法律领域，不管是在心理学界还是政治界，人类生活的方方面面都在试图借鉴和奉行这套逻辑思考的方式。
比如，物理学家艾萨克·牛顿爵士就在他的传世著作《自然哲学的数学原理》中运用了欧几里得的方法。在这本书中，牛顿通过几何证明的方法，推导出一套关于重力和物体运动的深刻规律，这套规律完全由他原创，并且能够很好地解释伽利略和开普勒发现的关于抛物运动和星球轨道运行的规律。著名的哲学家斯宾诺莎在他的著作《伦理学》中也使用了这套方法。
在哲学史上占有一席之地的伟大著作《伦理学》，全名为《依几何次序所证之伦理
学》，该书系统运用了欧几里得的几何证明方法来探讨哲学问题。在书的一开始，作者就给出了一组公理以及各种公式，然后从中产生命题、证明、推论与解释。
就连美国的《独立宣言》里也有欧几里得的话语。在《独立宣言》里，托马斯·杰弗逊写道，“我们认为以下这些真理是不言自明的”，这句话正是来自欧几里得的《几何原本》。欧几里得的《几何原本》一开篇就提出了一些定义、假设和所谓“不言自明的真理”，也就是我们所说的公理。在这些定义、假设和公理的基础上，欧几里得用命题和推导建立起了他的几何学大厦。在这个系统中，每个真理都是由其他真理推导而来的，它们之间的逻辑关系绝对无懈可击。在美国的《独立宣言》中，杰弗逊也使用了类似的体系，通过他的一步步推导和雄辩，《独立宣言》的最终结论——殖民地人民有权独立自治——就像几何定理一般不容辩驳。
也许你会觉得，把政治宣言与数学联系在一起未免有些牵强。你可能不知道，杰弗逊总统一直非常喜欢和崇拜欧几里得。1812年1月12日，杰弗逊给他的老朋友约翰·亚当斯写了一封信。当时杰弗逊已经结束了他的第二任总统任期，过起了远离公众与政治的生活。在这封信中，杰弗逊提到远离政坛给他带来的快乐:“我已经不再看报纸了，现在我每天阅读塔西佗和修昔底德的书，阅读牛顿和欧几里得的书。我觉得自己比以前快乐了很多。”
但是，在我们敬仰欧几里得的逻辑和理性的时候，也许我们忽略了一件非常重要的事情，那就是几何学其实也有直觉和感性(而非理性)的一面。如果没有灵感和直觉，就不可能有证明，或者说，根本不会产生可供证明的定理。就像作曲或者写诗一样，几何学也需要一些“无中生有”的本事。几乎每个领域都需要灵感女神缪斯的眷顾，在艺术领域中如此，在数学天地中同样如此。
为了详细阐述这个问题，我们来看一个小问题:如何构建一个等边三角形?所谓等边三角形，就是三边边长相等的三角形。这个游戏的规则是，给你三角形的一边，请你构建出一个等边三角形。题目给出的三角形一边(底边)是一条线段，如下图所示。
由这个线段出发，如何构建出等边三角形的另外两边呢?如何保证另外两边的边长和底边相等?我们手头的工具只有两种，一是直尺，二是圆规。直尺的作用是什么呢?它能够辅助你画出任意长度的直线，或者用直线连接任意两个点。圆规则能够让你以任意点为圆心、以任意长度为半径画出圆形来。
请注意，我们的直尺上没有刻度，不能用于测量长度(所以，不能用直尺去额量或复制底边的长度)。圆规也不能当量角器来用，也就是说，我们只能用圆规来画圆，而不能用它来测量角度。
现在规则已经解释得很清楚了，你可以开始着手解答这道题目了。来吧!头脑停止运转了，世界静止了。这个问题到底该如何下手?
逻辑对解答这道题，一点儿用也没有。这时候，善于解答问题的人会知道:此刻只有放松心情，抱着游戏的态度探寻，才能找到一点儿感觉和灵感。比如说，也许我们应该用直尺从线段的两个端点开始画两条斜线，就像这样:
遗憾的是，似乎这个方法并不管用:这样确实可以构建出一个三角形，但是完全无法保证画出来的三角形是等边三角形。
要不试试用圆规画圆?但是，在哪里画呢?是以底边线段的一个端点为圆心画圆吗?
还是以线段中的某一点为圆心画圆?
第二种想法与第一种想法相比更加不合理，线段上有那么多点，任选一点似乎毫无用处。
基于上述判断，让我们还是回到第一种想法上来:继续以底边线段的一个端点为圆心画圆。
问题是，虽然我们选定了圆心的位置(底边的两个端点)，但是画圆还是有很大的任意性。到底应该画多大的圆，也就是说圆的半径应该是多少?对此我们仍然毫无头绪。
这样继续摸索一段时间以后，我们开始感到疲惫，头也隐隐作痛，很多人会就此放弃这道题。但是，如果我们锲而不舍地进行探索，最终我们可能会产生一种感觉或者灵感:啊!最自然的画圆方法是这样的!让我们把圆规的一个脚放在线段的一个端点上，然后把装有铅笔芯的另一个脚放到线段的另一个端点上。然后，这么轻轻一转，我们就得到一个如下的正圆:
当然，我们还可以交换一下圆规的两个脚的位置，也就是用线段的左边一个端点作为圆心，画出另一个圆。如下图所示:
那么，如果把上述的两个圆同时画在一张图上会怎么样?(虽然并没有什么特殊的理由，但是这也是一种自然的尝试。)
你发现了什么?灵感女神是不是刚刚眷顾了你?让我们仔细地观察一下上图两个圆交叠区域的上半部分，看起来像不像一个略微变形的等边三角形?而这个三角形的顶点就是两个圆相交的部分。
有了这个雏形，问题就好办了。让我们把这个变形的等边三角形变成一个真正的等边三角形:只要用直尺画两条直线，把两圆相交的点和底边线段的两个端点分别连接起来，我们就得到了一个真正的等边三角形。
在直觉的指引下，我们成功地走到了这一步，下面是逻辑大显身手的时候了让我们用逻辑的方法来证明我们得到的确实是一个等边三角形。为了说明问题，我们将整个图形重新画出，并且将三角形的三个顶点命名为A、B和C。如下图所示。
很明显，这个证明基本就是重复一遍等边三角形的定义而已。我们以线段AB的长度画了两个圆，C点同时在这两个圆的圆周上。所以，线段AC和线段BC的长度是一样的，都等于圆的半径，也就是说，AC和BC的长度都等于底边AB的长度。既然AC=BC=AB，那么该三角形的三边长度两两相等，所以根据等边三角形的定义，我们构造出的三角形ABC是一个等边三角形。证毕。
上述证明已经流传于世长达数千年了。这个证明是欧几里得最先证实的，是《几何原本》一书中第一册的第一个命题。但是，在给出这个证明的时候，教科书往往直接抛出最后一张图--两个巧妙的圆、完美的字母标注。我个人认为，这种教学方法恰恰剥夺了学生们寻找答案的乐趣，这是一个教学事故!实际上，前面几幅图才是最重要的，那几幅图是在灵感和直觉的指引下发现和探索的过程。我相信，只要有正确的引导，每一个学生都能凭自己的努力完成上述证明过程。
显然，上述证明的关键是，要有画出两个圆的灵感。运用类似的方法，我们还可以证明一个几何学中更加有名的结果:三角形内角和等于180度。
证明三角形内角和为180度的方法不止一个，我认为最好的证法并不是欧几里得的证明方法，而是在欧几里得之前由毕达哥拉斯给出的一个证明方法。具体的证明方法如下:假设一个任意三角形的三个内角分别为a、b和c。
画一条经过三角形顶点的直线，这条直线平行于三角形的底边。
现在，我们要复习一下平行线的性质。如果两条平行线被第三条直线所截，如下图所示。
那么，上图中标为a的两个角相等。(如果你还记得术语的话，这两个角叫作内错角。如果两条平行线被第三条直线所截，则内错角相等，这是平行线的一个基本性质。)
现在，让我们来把平行线的这条性质运用到上图的三角形中去。我们已经画了一条和底边平行的辅助线，如下图所示。
根据内错角相等的性质，我们可以发现，左上的角a应该等于三角形的内角。同理，右上的角b也等于三角形的内角b。在三角形的上顶点处，a、b、c这3个角拼成了一条直线，因为直线的角度是180度，因此我们证得三角形内角和确实等于180 度。
毕达哥拉斯的这一证明是数学史上最基础、最重要的证明之一。这种用平行线做辅助线的方法，给了我们无穷的灵感，照亮了我们前进的道路。只要画出这条神奇的平行线作为辅助线，下面的证明方法便呼之欲出，几乎不用思索，就像弗兰肯斯坦博士造出的怪物一样，不用推动自己就会走。
让我再假设一下。我觉得，如果有一天我们的数学教育能够换一种方法教几何学，强调几何学有趣、直觉和灵感的一面，告诉孩子们灵感的火花有时能给出漂亮又简洁的证明。那么，我想下一代的年轻人会对几何学产生更好的印象，他们在谈到几何学的时候也许会说:几何学不仅教会我逻辑，也教会我如何发挥创造性。