［坡仔跟你一起阅读好书·第九十期］《X的奇幻之旅》Part 3 形状——第十五章 大自然最常见的形状：正弦波
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第十五章 大自然中最常见的形状——正弦波
我爸爸有个好朋友，名叫戴夫，他现在已经退休了，居住在佛罗里达州的木星市。在我约12岁的时候，我们全家去佛罗里达州度假，顺便去拜访戴夫叔叔。那次拜访的过程中，戴夫叔叔给我们看了一样东西，这个东西让我们全家至今记忆犹新。
戴夫叔叔喜欢在甲板上欣赏佛罗里达州美丽的日出和日落的景色，因为这项爱好，他制作了一张图表，把一年中他每天观察到的日出和日落时刻记录下来。每天，戴夫叔叔在图表上标出两个点，一个点表示日出时间，另一个点表示日落时间。几个月以后，他从这张图表上发现了一个有趣的现象:日出时刻线和日落时刻线看起来像是两条正好相反的波。总的来说，日出时间的曲线高一点儿，日落时间的曲线低一点儿。也就是说，一般日出时间提前一点儿，日落时间推后一点儿。
但是，也有一些例外的情况。比如说6月的最后3周、整个12月和1月上旬，这些时段内每天日出和日落的时间会同时推迟，使得这几部分的波形显得有些变形。
虽然如此，这张图还是展示出了不少重要信息:从上图中可以很轻易地看出日出时间和日落时间的间隔在一年中呈周期性变化的特征。随着季节的变化，白天的时间渐渐变长，然后又慢慢缩短，周而复始。通过用下面那条曲线减去上面那条曲线，戴夫叔叔很轻松地算出了每日的日照时间的长短。日照时间的长短显然也是随着一年中的季节变化而变化的。但是出乎戴夫叔叔意料的是，这条日照时间长短的变化曲线没有任何变形和不完美的地方，这条曲线绝对规整，而且完全对称!
从上图中可以看出，这条每日日照时间的变化曲线几乎是一个完美的正弦波。“正弦波”这个词听上去应该并不陌生，我们在高中的三角学课上都学过。当然，你的高中老师可能很少用“正弦波”这个词，而是大讲特讲“正弦函数”。正弦函数是度量三角形边和角之间关系的一个非常基本的数学工具。正弦函数是三角学的撒手锏之一，它给古代的天文学家和测量师们带来了很多便利。
三角学这个名字虽然听起来很朴素，但是，如今“三角学”的领域已经超出了对三角形的研究。三角学不只研究三角形，还研究圆形。通过对圆的研究，三角学使得我们可以分析任何重复性、周期性的事物:从大海的潮汐到人的脑电波。可以说，三角学是关于周期的科学。
为什么三角学会把三角形、圆形和波联系在一起呢?要说清楚这个问题，先让我们来想象这样一个画面:有一个小女孩坐在一个摩天轮里，这个摩天轮一直周而复始地转啊转啊。
小女孩的妈妈也在场，母女两人都爱好数学，她们觉得这是一个做数学实验的好机会。于是，小女孩把一个卫星定位仪随身带上了摩天轮，这个仪器可以随时记录下她所处的海拔高度。随着摩天轮的转动，小女孩不断升高，一直升到让人心跳加速的最高点，然后小女孩又开始下降，回到最低处，接着继续上升，重复上述旋转过程，周而复始。卫星定位仪记录下来的小女孩的高度是如何变化的呢?让我们来看看下图的结果。
这个图形就是一个正弦波。当一个人或一个物体沿着圆周运动时，如果我们记录下他在水平方向或是垂直方向上的位移情况，我们就会得到一个正弦波。
那么，这种正弦波和数学课上讲到的正弦函数有什么关系呢?要解答这个问题我们需要思考一下这个小女孩在某一个时刻所处的位置。在下图中的这个时刻，小女孩的位置和圆心发出的水平线(图中虚线)成一个角度，这个角度我们记作角α：
为了简单起见，让我们假设上图中三角形的斜边长度是1，也就是说这个摩天轮的半径为1。那么，sinα就是此刻小女孩所处的高度。在这里，我们把摩天轮圆心所处的水平线定义为参照平面，小女孩的高度是相对这个参照平面而言的。当小女孩和图中虚线所成的角度为α的时候，她的高度就是sinα。
随着摩天轮不断旋转，的角度也是不断变化的，很快，角α超过了90度，也就是说，角α不能被看作一个直角三角形的内角了。这可怎么办呢?我们是不是就不能继续用三角函数了呢?
当然不是。百折不挠的数学家们才不会被这点儿小困难吓倒，他们立刻扩大了正弦函数的定义范围，让正弦函数可以适用于任意角度(而不仅仅是零到90度的角度)。随着定义的扩大，sinα仍然表示小女孩的高度(以圆心所在的水平线为参照面)，但现在这个高度可以是正的，也可以是负的，因为有时候小女孩在圆心水平线以上。有时则在圆心水平线以下。随着角α的度数不断增加(或者不断减少，甚至变成负数)，sinα所呈现的函数图像就是我们所说的“正弦波”。每当角α为360度(一个整圆)时，正弦波的图形就重复一次。
圆周运动和正弦波之间的转化，存在于我们日常生活的方方面面，不过我们很少会注意到。在办公室里，我们头顶的日光灯总是发出轻微的嗡嗡声，是因为远在电网的另一端，发电机正在以每秒60周的速度运转，而这种重复圆周运动被转化成了交流电。如果没有交流电，就不会有我们现代化的生活方式所需的一切电器，交流电正是一种正弦电波。当你对我说话，而我用耳朵听你说话时，我们两人的身体都在使用正弦波。你的声带震动是正弦波，由此产生了声音;我的耳内毛细胞的震动也是正弦波，由此我才能听见你的声音。只要我们敞开心扉，倾听正弦波那无声的吟唱，我们就会感到一种深深的触动。正弦波几乎能够让我们的灵魂产生共鸣。
为什么正弦波的形状如此常见?这背后有着深刻的数学原因。每当平衡体系变得不稳定的时候——不管失衡的原因是物理的、化学的还是生物的——失衡产生的第一个信号就是正弦波，有时候是一个正弦波，有时候是几个正弦波的叠加。
正弦波是大自然中各种形状的基石，它就像原子一般重要:没有原子就没有任何物质，没有正弦波就没有任何形状和组织。在拉丁语中“sine quanon”意为某物产生的必不可少的前提和先决条件，其中的sine恰好与英文中的“正弦”一词拼法一致。
事实上，“正弦生万物”这句话真的一点儿也不夸张。从量子力学的角度上说，万物的基础——原子就是一些正弦波组合（即正弦波的叠加）。从宇宙学的角度来说，正弦波也是世上万物存在的基础。天文学家们通过研究宇宙微波背景辐射的光谱(即其中的正弦波的性质和形态)，发现此光谱的性质与“宇宙暴胀理论”的预测最为吻合。目前，“字宙暴胀理论”是研究宇宙的产生和发展的理论中最为成功的一个。根据宇宙暴胀理论的预测，万物起源于宇宙大爆炸，在大爆炸的过程中，处处均匀的平衡体系变得不稳定，最初的非均匀正弦波也随之产生。这些原始的正弦波是从寂静和虚无中生出的物质和能量所激起的涟漪，它们催生出物质，催生出我们的宇宙。
恒星、星系、在摩天轮上玩耍的小孩.....这一切都来自宇宙大爆炸时产生的正弦波。所以，古人说“无极而太极”，我们说“正弦生万物”。