［坡仔跟你一起阅读好书·第九十一期］《X的奇幻之旅》Part 3 形状——第十六章 圆周率是如何计算出来的？

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第十六章 圆周率是如何计算出来的?

       上中学的时候，我喜欢和朋友一起钻研一些经典的难题和悖论。比如，最无坚不摧的力量作用于最坚不可摧的东西上，结果会怎么样?很简单，两者都会爆炸。在我们13岁的时候，我们总是能轻而易举地回答各种哲学问题。

       其中有一个问题让我觉得很困惑:如果我和墙壁之间有一段距离，我每次都朝向墙走近距离的1/2，最终我到底能不能走到墙根儿那里去?这个问题令我感觉相当不安:我是否会无限地接近某个东西，却永远无法真正到达呢?(这大概是青春期焦虑的一种高级隐喻吧。)这个念头太恐怖了。无限总像是蒙着一层薄薄的面纱，怎么看也看不透。如果我每次都走近距离的1/2，我是否需要走无穷多步才能贴近墙?而且，我的步长会趋于无穷小吗?这太令人费解了。

       几千年来，这样的问题总是让人类头痛不已。公元前500年左右，埃利亚的芝诺提出了4个关于无穷的悖论，给同时代的人们制造了许多困惑和烦恼。在之后的几个世纪中，无穷的概念一直不被数学界所认同和承认，我想埃利亚的芝诺需要为此负一定的责任。在欧几里得的几何理论中，只承认可以由有限步操作构造出的对象，因为“无限”这个概念被认为太虚无缥缈、太不可言喻，而且在逻辑上也不够严密。

       与欧几里得不同，另一位伟大的古代数学家阿基米德却认识到了无穷的强大力量。借助“无限”的力量，阿基米德解决了一些用其他方法无法解决的问题。在这个过程中，他差一点儿就发明了微积分——这比微积分的最终发明人牛顿和莱布尼茨提早了近2000年的时间。

       在本书的下一部分里，我会详细讨论微积分这个天才发明的伟大与美丽。现在，我们先看看在计算圆周率元的过程中，微积分的理念是如何崭露头角，并给我们留下了最初的惊鸿一瞥。

       首先，我们来复习一下什么叫作圆周率。圆周率是两个距离的比值，一个距离是圆的直径(穿过圆心且两端均在圆上的线段)，另一个距离是圆的周长(整个圆周的长度)，周长和直径的比值就是圆周率π。

       如果你是一个谨慎严密的思考者，说到这里你可能已经开始担心了:如何保证所有圆的圆周率都一样?大圆和小圆的圆周率是否会不同?答案是:不会。所有圆的圆周率都一样。要严格证明这个结论并不容易，这里我给出一种比较直觉化的说明。

       假设我们有一台复印机，这台复印机具有缩放功能，可以把圆形的图像放大或缩小，比如说我们把一个圆的形状缩小50%。因为我们用的是复印技术，这样做以后，新产生的小圆图像中的所有距离都比大圆缩小了50%，包括圆的周长和直径。那么。当我们计算小圆的圆周率时，分子和分母上的两个50%应该互相抵消，所以小圆的圆周率和大圆的圆周率完全一致。这个通用的圆周率就是π。

       当然，以上的推导并不能告诉我们圆周率π的值有多大。拿出最原始的工具——绳子和尺子，我们就会发现圆周率π的值约为3。如果你量得再准确一些，就会发现圆周率π的值接近于3又1/7。但是我们还不满意，我们想知道圆周率π的精确值，或者至少知道圆周率π在我们选定的任何精度要求下的估计值。怎么才能做到这一点呢?这个问题把我们的祖先们难住了。

       在揭示阿基米德的天才算法之前，我们先谈谈圆周率π和圆的另一个重要联系。圆的面积公式如下:

      A=πr的平方

      这个公式里的A是圆的面积;r是一个希腊字母，代表圆周率;r是圆的半径，也就是直径的1/2。

       我相信每个人在中学的学习生活中都背诵过这个公式。但是，这个公式是怎么得来的呢?中学的几何课上通常不会给出圆面积公式的证明。如果之后你上了大学，学习了微积分课程，你可能看到过用微积分完成的对圆的面积公式的证明。但是，学习微积分真的有必要吗?证明一个如此基本的公式，真的一定要用到微积分知识吗?

       答案是肯定的。

       问题的难点是:圆是曲线，而不是直线。如果圆是由直线围成的，就不会有任何问题:长方形、正方形、三角形的面积都不难求。但是，要计算曲线围成的图形的面积，比如圆的面积，就没那么简单了。

       在数学领域，我们应该如何研究和处理曲线?我们可以把曲线想象成是由很多小段的直线构成的。当然，事实并非如此，因为曲线是光滑的，很多小直线连起来得到的也只能是不光滑的折线。但是，这种思路是完全行得通的，只要你增加一个取极限的步骤:想象曲线是由无数多段小直线构成的，每一段小直线的长度是无穷小。这其实就是整个微积分知识中最基本、最核心的理念。

       有了这个理念以后，如何求解圆的面积呢?方法不止一种，下面我们给出其中的一种方法。首先，我们把一个圆平均切成4份，然后摆放成下图中的形状:

       上图中，牙印般形状的面积和圆的面积是一样的。这个事实看起来毫无用处，因为我们也不知道如何求解这个奇怪图形的面积。但是，通过这个变形的过程，我们却得到了两条很重要的信息:第一，图形下半部标出的两段弧线的长度和是圆周长的1/2(另一半现在变成了图形上半部分的两段弧线)。既然圆周长等于直径乘以圆周率，那么这两段弧线的长度和就应该等于半径乘以圆周率(因为半径是直径的一半)。所以，我们在上图中标示出的这两段弧线的长度和为πr。第二，这个奇怪图形左右两侧的直线部分长度为r，因为这个图形是由4个1/4圆形拼成的，而这两条直线原本就是圆的半径。

       现在，我们来重复上面的步骤。这一次我们不把圆平均切成4份，而是平均切成8份。拼合的方法和上面一样。

       这个展开的形状看起来比上一个好一些。虽然上下边界还是由很多小圆弧组成，但是，参差不齐的程度有所降低。另外一个进步是，左右两边的直线也没有4等分的时候那样倾斜。虽然如此，上一段提到的两个性质却没有变:一是底边长仍为πr;二是左右两边长仍为r。而且，这个牙印形图案的面积显然还是等于切割前的圆形面积，因为我们只不过是把圆形切开并展开了而已。这个圆形的面积，正是我们想要求解的结果。

       按照这个思路，我们把圆形切割成越来越多的小块，然后再拼接起来，看看会发生什么情况。奇迹发生了，那个牙印般的图案越来越像一个长方形，上下两边越来越平滑，左右两边几乎要垂直于水平线了。

       可以想象，当我们把圆切成无限多个等分，再以上面的方法重新拼接，我们就会得到一个长方形。上面的两个性质仍然成立:长方形的底边长为πr，高为r。

       现在，问题已经变得非常简单了。长方形的面积等于长乘以宽，πr乘以r等于πr的平方。拼接出来的长方形面积等于原来的圆形面积，所以圆的面积是πr的平方!

       这个解法的美妙之处就在于它引入了无限和极限的概念，这个概念救我们于水火。一开始，那个牙印般的图案看起来十分奇怪，求解它的面积比求解圆的面积还要困难。但只要用上极限这个“武器”，我们终于走到了那面不可抵达的墙的墙根下，一切都变得简单而美丽，云开雾散，豁然开朗。这就是微积分的伟大和美好。

       阿基米德用类似的方法求解出了圆周率。他的想法是这样的:圆可以用正多边形来代替，不断把多边形的边数加倍，最后我们就会得到一个圆。为了控制圆周率的计算精度，阿基米德把圆限制在一个内接多边形和一个外切多边形之间，下图表示了6等分、12等分和24等分的情况。

       然后，阿基米德通过勾股定理来计算这些多边形的周长，从6边形开始，到12边形、24边形、48边形，一直算到了96边形，逐步逼近圆周率的值。用96边形算出的圆周率范围是:

       如果用小数表示(阿基米德的时代还没有小数)，那么阿基米德算出的圆周率范围是3.1408~3.1429。

       阿基米德使用的这种方法叫作“穷竭法”，因为这种方法把一个未知数π限制在两个已知数之间，然后不断挤压这两个已知数，让这个范围越变越小。多边形的边数不断增加，π的取值范围就不断减小，最终无限逼近于π的精确值。

       运用极限的思路，如果多边形边的数目趋向于无穷大，那么这个上限和下限都会趋近于π。遗憾的是，这个极限并不容易计算，没有之前把圆展开成牙印形图案的例子那么简单。圆周率π依然是那么难以捉摸，我们可以不断地算出小数点后的更多位(目前的纪录是小数点后的2.7万亿位)，但却永远无法窥得它的全貌。

       ​除了为日后的微积分学打下基础以外，阿基米德还向我们展示了迭代的力量。他先算出一个不错的近似值，然后再在这个近似值的基础上，算出更加精确的近似值，一步步逼近准确值。通过增加小直线的数目。阿基米德越来越精确地模拟出一条平滑的曲线。

       2000多年过去了，这一思路仍然毫不过时，现代的“数值分析”领域正是基于这种迭代的理念。工程师们用数值分析的方法设计流线型的汽车车身，生物学家用数值分析的方法模拟抗癌药物攻击癌细胞的机制。

       数值分析领域内的数学家和计算机学家们运用阿基米德的思想，创造出了很多高效率的迭代算法，有的算法每秒可以运算数十亿步。运用这些算法、世界各地的超级计算机正在不断挑战和解决着现代社会中人类面对的各种问题:从生物技术到互联网科技，再到华尔街的金融交易问题，通通可以用数值分析的方法来解决。这些算法的共同特点是:不断找到更精确的近似值，步步为营地逼近我们想要求得的精确解。

       无限和极限的力量，永无止境!