［坡仔跟你一起阅读好书·第九十二期］《X的奇幻之旅》Part 4 变化——第十七章 微积分：找出最优路径的最可靠方法
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第十七章 微积分:找出最优路径的最可靠方法
在我很小的时候，离我真正学习微积分知识还有很多年的时间，我就对微积分萌生了一份奇妙的感觉。我爸爸曾用一种十分敬畏的语气谈到微积分。出生于大萧条时期的爸爸没有机会接受大学教育，但是在他生命中的某个时段，他产生了对于“微积分能做什么”这个问题的微妙见解，也许是他在南太平洋修理B-24轰炸机引擎的时候。我爸爸认为，如果有一种全自动控制的高射炮，能自动发现敌机并瞄准敌机开炮，那么只有微积分这种高深的知识才能很好地控制高射炮，让它们向正确的方向开炮。
每一年，美国有100万大学生研修微积分课程。不过我想，这其中只有很少一部分人能说清楚微积分到底是什么，以及自己为什么要学微积分，这并不是这些学生的错。微积分的知识中有那么多的技巧需要掌握，那么多新的理念需要消化和吸收，以至于我们很容易就忘记了这个学科的宏伟蓝图和大方向。
微积分是研究“变化”的数学。微积分可以用来描述流行病的传播过程，也可以用来描述弧线球的线路变化。它适用的范围如此之广，所以微积分教科书的种类也有很多。很多的微积分教科书有上千页，但是作用并不大。
如果你善于总结，你就会发现在这些汗牛充栋的微积分教科书中，闪光的核心主题只有两个，而其他的一切，用拉比·希勒尔的话来说，都只不过是这两条主题的注解。这两个主题就是“导数”和“积分”。导数和积分各占微积分课程的前半部分内容叫作“微分”，后半部分内容叫作“积分”。
粗略来说，导数描述一个事物的变化速率，积分则告诉你这些变化积累起来的总体效果有多大。导数和积分在完全不同的时间发明于世界上两个完全不同的地方。积分的内容最早出现于公元前250年的古希腊，而导数的内容则于17世纪中叶才在德国和英国被发明。虽然来历大不相同，但实际上导数和积分之间却存在一种重要的联系——这样的情节大概只有在狄更斯的小说里才会出现。人类花了近2000年的时间，才看出了这两者间的“血缘关系”。
在下一章的内容中，我们将会仔细探究这种神奇的“血缘关系”，并且介绍积分的具体概念。本章中我们先打好基础，来讨论一下导数的问题。
在我们的生活中，导数无处不在，只是我们常常对它“相见不相识”。比如，一个斜坡的坡度就是导数。和其他导数一样，坡度描述了一种变化速率:在这个斜坡上每走一步，你会上升或下降多少高度。陡坡的导数(坡度)比较大，而轮椅可以爬行的缓坡的导数(坡度)则比较小。
导数的身影几乎出现在所有的学科和领域中:经济学中的边际收益、金融学里的增长率、物理学中的速度、地理学里的坡度，不管被赋予什么样的名字，这些内容的本质都是导数。遗憾的是，很多学生学习过微积分的课程以后反而糊涂了，认为导数只有一种意义，那就是表示一条曲线的斜率。
当然，这种误解也是可以理解的。也许我们过度依赖用图像来表示变量之间的关系，每个领域的科学家都喜欢把x和y画在同一张图上，以此让这两个变量的相互作用图像化。这种图像变成了一种通用的数学语言。科学家们所关心的变化速率——不管是病毒的繁殖速度，还是飞机的飞行速度等——就这样被转化成了一个简单却十分抽象的内容:曲线的斜率。于是，可怜的学生们被困在了这个抽象的囚笼里，反而忘记了导数本来是很具体的、很实际的东西。
和曲线的斜率一样，导数可以是正数、负数，也可以是零。正导数代表上升，负导数代表下降，而导数为零则代表不变。让我们想象一下迈克尔·乔丹灌篮前在空中飞行的轨迹吧。
在乔丹刚起跳的时候，他的垂直速度(垂直速度是指乔丹身体所处的高度随时间变化的速率，所以垂直速度是一个导数)是正的，因为起跳后他的身体正在上升，身体所处的高度随着时间变化而增加。反之，在下落的过程中，乔丹的垂直速度是负的。当乔丹处于空中飞行路线的最高点时，他的高度在那一个瞬间是既不增加也不减少的，垂直速度为零。从这个角度看，正如人们所说的，乔丹在那一刻是“挂在半空中”的。
在这个过程中，还涉及一个通用的规律——事物到达高峰或低谷的时候，正是它们变化得最慢、变化速率最低的时候。在我居住的美国纽约州伊萨卡市，可以很清楚地观察到这个规律。在冬天最寒冷的时候，日照时间短得可怜，一天结束另一天开始，日照时间几乎一点儿也没有变长。而一旦春天到来，白天的时间就一天比一天长，增长速率十分明显。这个现象是非常普遍、非常自然的。越是在极端的情况下(在高峰和低谷的时候)，事物的变化越是缓慢。这是因为在高峰和低谷的点儿导数是零，也就是说，在那个瞬间，没有任何变化发生，事物暂时静止了。
高峰点和低谷点的导数为零，这个简单的性质可能是微积分学里最实际、最有用的性质之一。有了这个性质，我们就可以通过求解导数来找到一个函数的最大值和最小值。 人们常常想找出完成一件事情的最快、最好或是最经济的方法，这就涉及求解函数极值的问题。
我在高中的微积分老师乔弗瑞先生把求解函数极值的问题讲解得十分生动。有一天，他几乎是蹦蹦跳跳地进了教室，告诉我们他在雪地里远足的故事。乔弗瑞先生说，因为风很大，把别处雪地上的雪全吹到了他面前的这块雪地上。他面前的这块雪地的积雪特别厚，所以在这块雪地上他只能慢慢地走;而远处的一块草地上则完全没有积雪，走起来应该很轻松。乔弗瑞先生问我们，在这样的情况下，一个远足的人到底应该怎么走才能以最快的速度从A点到达B点呢?
一种选择是:因为在积雪深的地方走得慢，所以远足者应该尽快走出积雪深的部分，抄近路到草地。这种选择的劣势是，在草地上要走的路程会比较长。如下图所示。
另一种选择是:沿直线从A点走到B点，因为两点之间直线最短。这种选择的行进总距离肯定最短，但是与上一种选择相比，在积雪中的路程加长了，而且在积雪里走路速度比较慢。这种选择是最优的吗?
运用导数的知识，我可以求解出耗时最短的最优路径。这个最优路径介于上述两种选择之间，如下图所示。
具体的求解过程主要有4个步骤。
第一步，我们应该意识到，从A点走到B点所花的时间(这是我们想要最小化的目标函数)，取决于远足者由哪一点离开雪地步人草地，有无数个这样的点供他选择。那么，让我们把所有可以离开雪地进人草地的点都列入考虑范畴，作为我们的未知数。如何描述这个点的位置呢?我们设x为远足者在雪地里移动的总横向距离，这个变量完全可以描述出远足者从何处进入草地。
当然，从A点走到B点的时间还取决于A点和B点的位置，以及远足者在雪地和草地上的步行速度，但这些参数在这道题目里都被视为已知。远足者唯一可以控制的变量，就是上图中的x。
第二步，对任何一个给定的x值，因为A点和B点的位置是已知的，我们可以算出步行者穿过雪地和草地走到B点所用的总时间。为了计算在雪地上行走的时间和在草地上行走的时间，我们要用到勾股定理，还要用到我们耳熟能详的一句口诀:“距离等于速度乘以时间”。把雪地上的行走时间和草地上的行走时间相加，就得到了远足者从A点走到B点所用的总时间T。显然，T是x的一个函数。
第三步，我们画出T随着x变化的函数图像。这个函数图像的最低点就是我们要找的最优解——在那一点，远足者可以花最短的时间从A点走到B点。
第四步，为了找到这个最低点，我们要用到前面提到的那个性质:最大值和最小值处导数为零。让我们计算出T的导数，令这个导数等于零，然后解出导数为零时x的值。
这四步求解的过程包含了几何、代数，还有微积分中的多个求导公式。要把数学中的这些知识融会贯通，并不比流利地说一门外语简单，因此很多学生面对这样的题目会感到束手无策。
这道题目的结果是很有意思的，完全值得我们花上一番工夫。我们解出的最优路径服从所谓的“斯涅尔定律”，斯涅尔定律又称折射定律。有趣的是，不仅题目中的远足者服从斯涅尔定律，大自然也同样遵守着这条定律。
斯涅尔定律描述了光线从空气中射入水中时的弯曲情况。当明亮的阳光照进闪烁的游泳池中，斯涅尔定律便开始发挥作用。光在水中传播的速度比在空气中传播的速度慢，就像远足者在雪地上比在草地上走得慢一样。远足者为了节约时间而走弯路，光线射人水中的时候也会弯曲，从而使传播所需的时间最小化。同样、当光线从空气中射人玻璃或者塑料的时候也会发生弯曲的现象，比如光透过你的眼镜片时，就会有折射现象发生。
奇怪的是，光竟然如此“聪明”，它仿佛考察过了所有可能的路径，然后、精确地选择了其中耗时最短的最优路径。大自然似乎也懂得微积分(此处请播放《迷离时空》的主题曲)!