［坡仔跟你一起阅读好书·第九十四期］《X的奇幻之旅》Part 4 变化——第十九章 指数e：关乎你婚姻成败的数字符号

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第十九章 指数e:关乎你婚姻成败的数字符号

       在数学中，有些数字特别有名，以至于它们有了自己专属的符号，一般这种“专属符号”都是单字母的。这可是一件大事，连麦当娜和王子(美国著名的流行音乐歌手)都还没有获得过这样的殊荣。这其中最有名的恐怕要数圆周率r了，r这个数字写成小数的话就是3.14159......

       接下来，比较知名的就是虚数i，i是代数界的“时尚潮人”。这种“虚构出来的数”在代数学里掀起了巨大的风潮，它彻底地改写了数字的定义。

       让我们再跟e问声好吧。之所以起名为e，是因为它代表指数(exponential)的增长。e简直是高等数学里的西力(伍迪·艾伦执导电影《西力传》的主角)，哪里都有它，你能想到的地方以及你想不到的地方，全都有e的身影。e不仅可以用来描述核能源的链式反应和人口爆炸，还能告诉你结婚之前交往多少个女友(男友)最合适。

       在谈论这个大家极为关心的婚恋问题之前，请允许我卖一下关子。让我们先来搞清楚，到底什么是e。e的数值是2.71828.....但是这个数字实在说明不了太多问题。我可以告诉你，e是一个无限数列的和，这个数列形式如下。

       我相信大部分读者看了这个数列以后，仍然不能理解e到底是何物，为了给大家一个直观的印象，我们来看看e的应用。

       假设你把1000美元的本金存入银行，这家银行特别慷慨，承诺给你100%的年利息，每年复利一次。一年以后，你的账户里已经有2000美元的资金了——本金为1000美元，100%的利息是1000美元，共计2000美元。

       当你发现银行特别慷慨之后，你决定更进一步，要求更高的利息，但是银行不肯答应。如果利率保持不变的话，能不能提高计息的频率呢?比如，利率仍然是100%，但是改为每半年复利一次——也就是说，6个月之后，银行付给你50%的利息，然后在接下来的6个月之后又付给你50%的利息。显然，对储户来说，这种计息方式比每年复利一次更加有利，因为半年后拿到的利息可以更快地利滚利。但是，半年复利一次到底能比一年复利一次多赚多少钱呢?让我们来算一算。

       半年后，银行支付给你50%的利息，于是你的本金变成原来的1.5倍。再过半年，银行又支付给你50%的利息，此时你账户里的钱和半年前相比又涨了1.5倍。1.5乘以1.5等于2.25，所以一年后，你的1000美元的本金已经变成了2250美元。与每年复利一次的情况相比，每半年复利一次可以让你一年多赚250美元。

       如果你不停地和银行谈判，让银行在保持利率不变的前提下把复利的频率加快——每天复利一次、每秒复利一次，每纳秒复利一次，你是不是就发财了呢?我们还是有必要计算一下再下结论。

       为了让计算变得简单一些，我们把1年平均分为100个时段，每个时段复利次。也就是说，每个时段结束之后，银行给你1%的利息(所以、年利率仍然为100%)，你账户里的钱会变成原来的101倍;一年后，账户总额变为原来的1.01的00次方倍，即大约270481倍，1000美元的本金变成了2704.81美元。

       让我们再总结一下，每年复利一次，年末你共有2000美元，半年复利一次，年末你共有2250美元:每年复利100次，年末你共有2704.81美元。

       现在，我们又要求助于无限和极限的理念了，我们想要问这样一个问题:如果一年复利无穷多次(这种计息方法叫作连续复利)，一年以后你的账户里会有多少钱?显然，这个数字应该比2704.81美元这一金额更多，但是其实多不了太多，经过计算，在连续复利的情况下，你一年后共有2718.28美元。这个数字正好等于1000美元乘以e，e是下面这个极限的值:

       这是一个典型的微积分方程式。在前面的几章中，我们已经用微积分计算过圆的面积和太阳对地球的引力了。未发明微积分和发明微积分的不同之处在于，微积分敢于面对无穷大的问题，并且善于利用无穷大的力量。不管是处理极限、导数还是积分，我们都在以各种方式面对无限这个概念。

       在上面的方程式里，我们想象自己把1年分割成很多个微小的时段，这些时段可以进行无穷多次分割，最后得到所谓的“无穷多”个时段，而每个时段的时长则是无穷小(无穷多个“无穷小”的时段，听起来非常矛盾，但是这和我们前几章里所做的，不断增加多边形的边数，让每条边越来越短，最终得到一个无穷多条边的多边形——也就是一个圆——的过程是一模一样的)。随着复利计算的频率越来越高，当然你年末得到的钱也越来越多，但神奇的是，这个增长的速率却越来越小尽管这样，一年以后你还是得到了一笔可观的利息，毕竟你存在银行的钱被复利了那么多次。

       从这个例子中，我们可以窥见e的一些端倪。当我们计算很多微小事件带来的总体变化的时候，e的身影往往就要出现了。

       假设我们有一堆铀，这种放射性的物质正在逐渐地衰变。在每一个时刻，每一个铀原子都有一个很小的概率会自动分解掉。对于一个给定的原子，它会不会分解掉，到底何时分解掉是完全不可预测的。而且，单个原子分解这一微小的“事件”对整体的影响是无穷小的。尽管这个系统里有这么多神秘的、不确定的、“无限”的因素，但是如果考虑到这数万亿个极为微小的事件的总体效果，我们就会发现，整体的变化趋势是光滑的、可预测的，整个反应堆的放射性是以指数衰减的。

       我们再来考虑世界人口的增长问题，人口大致是以指数增长的。在这个世界上，孩子出生的时间和地点都是随机的，人的死亡时间和地点也是随机的。如果把每一次出生或死亡都定义为一个“事件”的话，单个事件对世界人口的影响是极为微小的。但是，如果考虑到这数万亿个极为微小的事件的总体效果，我们就会发现，世界人口是以指数增长的，而且人口增长的速率是相当容易预测的。

       当随机性和无穷多的选择相结合，e就会应运而生。对此，我想举两个和日常生活有关的例子，当然这两个例子都是经过处理、高度失真的日常生活。

       假设有一部新的电影在本地影院上映了。因为这是一部爱情喜剧，很多情侣都争相赶来观看这部电影，而电影院里根本容纳不了那么多人。这些情侣在售票处前面排起了长队，迫切地想要买票入场。我们的模型是这样的:每对买到票的情侣都会立刻入场，并选择两个相邻的座位坐下。

       为了简化问题，我们假设选座是完全随机的，不管是前排、后排、中间座位，还是靠近走道的座位，这些情侣都不在乎，只要能找到两个相邻的空座位，他们就心满意足。

       除此之外，我们还假设，所有人一旦选定位置坐下就不再更换，也绝不会为了给他人行方便而更换座位。在这样的规则下，售票处的工作原则是:一旦影院里只剩下单独的座位，就立刻停止售票，不然后进场的观众可要发脾气了。

       在这个模型的初始状况下，剧场里空无一人。这个时候一切正常，每对进场的情侣都可以找到两个相邻的座位。但是，过了一段时间以后，剧场里就只剩下单独的座位，这些孤立的座位再也没有用了，因为所有观众都是一对对的情侣。在现实生活中，看电影的人确实会选择和陌生人隔开坐，留下的空位可以用于放置衣服或其他个人物品，还可以避免和不认识的人共用一个扶手。但在我们的模型里，这些孤立的空位并不是特意留出来的，它们只是随机选座的结果。

       我们的问题是:当剧院里不再有相邻的两个空位时(即所有空位都是孤立的)，这时的空座率是多少呢?

       答案是，在一个每排有很多座位的剧场里，最后的空座率是:

       也就是说，有大约13.5%的座位被浪费掉了。

       具体的计算过程有一点儿复杂，在此我就不演示了。但是，通过考虑两种极端情况，我们可以从直觉上验证这个答案的合理性。如果每对人场的情侣都特别珍惜座位，选择紧挨着陌生人坐下，那么剧场最终会坐满。大家高效率地利用起所有的位置，看上去特别拥挤，这是一种极端的情况。

       另一种极端情况是，谁都不肯和陌生人挨着坐，大家都放弃效率而选择舒适。每两对情侣之间就会隔着一个空位(而且每排或者是最左边一个位置空置，或者是最右边一个座位空置，如下图所示)。在这种情况下，会有1/3的位置空置，因为每对情侣需要3个座位，两个座位用来坐人，一个座位用来隔开陌生人。

       ​我们猜测，如果完全随机选座，那么结果应该在上述两种极端情况(完全追求放率和完全不追求效率)间。我们取0和1的平均值1/6作为最后的空座率。1/6换算成百分数是16.7%，而精确结果是13.5%，这两个数字还是比较接近的。

       在上述问题中，我们面临很多种选择，因为让情侣们坐进一个很大的剧场里有太多种不同的方法了。

       下面，我打算再举一个例子，还是关于如何安排一些情侣的位置，但这次我们要面对的不是空间上的位置，而是时间上的位置。这就是大家都感兴趣的婚恋问题:结婚之前，谈几场恋爱最合适?显然，在实际生活中，这个问题涉及太多复杂的因素，所以我们在此只能考虑一个简化版的婚恋模型。虽然这个模型的假设非常不现实，却还是抓住了爱情中一些令人心碎的不确定性。

       首先，我们假设你知道你的一生中一共可以遇见多少位潜在的人生伴侣(这个数字具体是多少并不重要，重要的是:第一，你事先知道这个数字;第二，这个数字不会太小)。

       同时我们还假设，如果你能同时遇见你所有的潜在人生伴侣，那么你可以立刻明确地将他们(她们)进行排序。人生的悲剧就在于，没有人可以同时遇见自己所有的潜在人生伴侣，我们总是以一种完全随机的顺序，一个一个地遇到他们(她们)。

       所以，我们永远不知道，最合适的那个人是否即将出现在下一个街角，还是我们早已经遇到过他(她)，却又永远地错过了他(她)。

       我们这个爱情游戏的游戏规则十分残酷:一旦你放弃一个人，这个人就会永远地离开你的生活，没有破镜重圆，也没有第二次遇见的机会。

       最后，我们假设你是一个完美主义者:你的目标是和你最满意的那个人(你的列表上排名第一的那个人)结婚，如果做不到这一点，我们就判定你的婚姻失败了。哪怕你是和列表上排名第二的那个人结婚了，你还是一个失败者。

       我们的问题是:在这样的假设条件下，你有可能找到那个你最满意的人吗?如果有可能，怎么做才能让你成功的机会最大化呢?

       一种比较好的策略(并非最优策略)是:把你的爱情和生活划分成上下两个半场，上半场完全用来积累经验。而在下半场中，你开始认真地寻找伴侣，如果你遇到一个比你上半场交往过的所有男友(女友)都优秀的人，你就立刻和他(她)结婚。这个策略让你至少有1/4的概率遇到最合适的那个人。为什么呢?

       首先，最合适的那个人可能在上半场出现，也可能在下半场出现，概率各为50%。同样，第二合适的那个人出现在上下半场的可能性也各占50%。也就是说，第二合适的人恰好出现在上半场，而最合适的人恰好出现在下半场的概率为25%。这种情况下，只要你严格执行上述策略，你就一定会和最合适的那个人结婚。

       第二合适的人出现在你人生的上半场，而你的人生中只有一个人比他(她)更适合你，这个人就是最适合你的人，当且仅当这个人在下半场出现的时候，你才会决定结婚，所以在这种情况下，你是一定会成功的。可见，在游戏人生的青春岁月里，遇见一个高质量的女友(男友)是何其幸运!

       当然，这并不是你的最优策略。最优策略是上半场的用时比下半场稍微短一些，让上半场占你整个恋爱时间的1/e,也就是大约37%的时间。根据我们的模型，这个策略是最优的婚恋策略，如果你严格采用这个策略，你和最佳伴侣结婚的概率是1/e。

       不过，如果你的最佳伴侣也在玩这种跟e有关的游戏，那一切可就说不准了。