［坡仔跟你一起阅读好书·第一百零一期］《X的奇幻之旅》Part 6 前沿——第二十六章 群论:如何翻转才能使床垫磨损率最小
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第二十六章 群论:如何翻转才能使床垫磨损率最小?
我和妻子的睡眠习惯完全不一样，我们的床垫是这一事实的最佳见证者。我的妻子睡觉时喜欢在身边放好几个枕头，而且她整夜不停地翻身，所以她躺着那部分庆垫几乎没有任何凹痕。而我则像木乃伊一样永远仰卧在床垫的同一个位置，结果给我身下的床垫留下了一个巨大而忧伤的“印记”。
床垫制造商建议顾客定期翻转床垫，以使床垫的磨损更加均匀。我想床垫制造商一定是知道有我这样的人存在，才会提出这么中肯的建议。但是，到底如何翻转床垫才是最佳的?怎么翻转才能让床垫的磨损最均匀呢?
布莱恩·海斯在《卧室中的群论》一书中对这个问题做了详细的探讨。“卧室”和“群”这两个词汇放在一起有点儿微妙的意味，不过这里所讨论的“群”是指一些数学行为的集合，即你可以翻转或旋转床垫(翻动或旋转后的床垫必须仍能严丝合缝地嵌在床架里)的所有方式的集合。
通过研究床垫的翻转问题，我希望让大家对群论有一个比较全面和基本的了解。群论是数学中最百变的分支之一。从方块舞的编舞，到粒子物理的基本原理，再到尔汗布拉宫的马赛克装饰，这些东西的背后都有群论的身影。
这些例子都说明，群论是科学和艺术之间的一座桥梁。群论讨论了科学和艺术的一个共同的主题:对于“对称”的永恒追求与热爱。但是，因为群论包罗万象，它必然是高度抽象的。群论提炼出了“对称”最初和最深的本质。
一般来说，我们把对称看作形状的一种性质。而群论的重点却在于:对于一个形状，我们可以做些什么?具体来说，就是在保持某些因素不变的前提下，改变一个形状的方式到底有多少种?说得更准确些，群论讨论的是这样一个问题:在一定的限制条件下。有多少种方式可以转化一个形状，但这个形状的本质却保持不变?这些转化的方式，就叫作这个形状的“对称性”。这些转化方式的集合形成一个“群”“群”的性质定义了这个形状的最本质特征。
对于一个床垫来说，我们可以通过一些转化方式，改变床垫在空间中的方向(这就是上一段中所说的“转化一个形状的方式”)，这些转化必须保持床垫的形状不变(这就是上一段中所说的“一定的限制条件”)。这些转化结束后，床垫必须仍能严丝合缝地嵌在床架里(这就是上一段中所说的“在保持某些因素不变的前提下”)。定好这些规则以后，我们来看看，哪几种“转化”床垫的方式属于这个“群”呢?事实上，只有4种方式是符合上述条件的。
第一种方式是什么也不做，大部分懒惰的床垫用户都选择这种方式。显然，这种“转化”符合上述所有条件，虽然它对延长床垫的寿命毫无帮助，但我们仍然必须把它视作这个“群”的一个元素。这种什么都不做的转化方式就像加法中的0或乘法中的1一样重要，数学家们称它为“单位元素”，符号为I。
接下来，我们来讨论另外3种富有创造性的翻转床垫的方式。为了清楚地展示翻转的方法，我们把床垫的4个角编上号，分别为1、2、3、4，如下图所示。
第一种翻转床垫的方法在本章一开始的时候就给出了。在本章的第一幅插图里，那位穿条纹睡衣的英俊绅士正在翻转床垫——沿床垫的长轴翻转180度。这种转化方式我们记作H，即“水平翻转”。
第二种更为狂野的翻转床垫的方法是“竖直翻转”，我们将这种方式记作V。竖直翻转要把床垫先立起来，让它几乎碰到天花板,然后让床垫头尾、正反皆翻转。“竖直翻转”的净效果(除了一声巨大的轰鸣以外)是床垫沿着短轴翻转了180度，如下图所示。
第三种翻转床垫的方法是保持床垫正面朝上，把它旋转半圈，让床头变成床尾，床尾变成床头。这种方式我们记为R，意思是“旋转”。水平翻转和竖直翻转都让床垫变为反面在上，而旋转后床垫仍保持正面朝上。
为了更形象地展示这几种翻转床垫方法的区别，我们想象床垫是透明的，即使反面朝上后仍能看见写在床垫正面的数字。水平翻转后，4个数字变成了原来的镜像，数字的排列发生了变化，1和2换了位置，3和4换了位置。
而竖直翻转后，数字的排列则发生了另一种形式的变化:数字不仅变成了原来的镜像(1和2换了位置，3和4换了位置)，而且1和2从上面换到了下面，3和4则从下面换到了上面。
最后来看一下旋转法。旋转后数字不会变成原来的镜像，它们只是头尾颠倒了而已。旋转后，1和4交换了位置，2和3交换了位置。
这些变化的细节并不重要，重要的是这几种转化方式之间的联系是怎样的。这4种转化方式之间的关系，反映出床垫这个物体的对称性质。
为了说清楚这个问题，我画了这样一张图。(这种图在内森·卡特的《视觉群论》里比比皆是。《视觉群论》这本书写得非常好，绝对是群论入门书籍中最棒的一本，甚至是我读过的所有高等数学人门类书籍中写得最好的一本。)
上图4个角上的方块表示床垫可能出现的4种状态。左上角是床垫翻转(或旋转)前的初始状态。箭头表示翻转(或旋转)的方式，这些箭头把床垫的4种状态连接起来。
比如说，从左下状态指向右上状态的箭头表示“旋转”R。这个箭头是双向的，因为如果把床垫旋转2次，床垫就会回到初始状态。
这并不奇怪吧，如果把床头转到床尾，然后又把新的床头转到新的床尾，就相当于什么也没做(床垫又回到初始状态)。这个性质可以用方程式表示为:
RR=I
上式中的RR表示把R这种转化做了两次:I表示初始状态(单位元素)。同样，如果连续水平翻转两次，或者连续竖直翻转两次，床垫都会回到初始状态，也就是:
HH=I
VV=I
除此之外，上面这张转化图还给我们提供了一些其他信息。比如，从图中可以看出，与其进行一次惊险的竖直翻转，不如先做一次水平翻转再加上一次旋转。两种方法的效果是完全一样的，也就是V=HR。为了验证这一结论，我们先从上图左上角的初始状态出发。向东走，沿着H的箭头，我们就到达右上状态，然后再沿着对角线往西南方向走，沿着R的箭头，最终到达左下状态。而直接从左上状态沿着V的箭头向下走也会走到完全相同的地方。所以，HR=V。
注意，在这张图中，各个步骤间的先后顺序并不重要。不管你是先水平翻转再竖直翻转，还是先竖直翻转再水平翻转，结果都是一样的，即HR=RH。在我们这个群中，任何两种转化方式的先后顺序都可以互相交换，转化的结果却保持不变，这是加法交换率的一种更广义的形式。算术中两数相加时，x+y=y+x，在这里是 HR=RH。请注意，并不是所有的群都服从交换律，我们的床垫“群”只是一个特例。通常，服从交换律的群是性质比较简单和清楚的群。
现在，回到我们最初的问题:怎样翻转床垫才能使磨损最为均匀?这个问题的答案是，只要周期性地调整床垫的状态，让床垫处于上图中的4种状态的时间相等就可以了。比如，鉴于竖直翻转床垫的方式有一定的危险性，我们可以选择周期性地重复R和H这两种翻转方式:第一个周期后旋转床垫一次，第二个周期后水平翻转床垫一次，第三个周期后又旋转床垫一次，第四个周期后又水平翻转床垫一次.....如此反复。有的床垫制造商发明了这样一个保养床垫的口诀:“春天转，秋天翻”，这其实说的就是上面的这种策略。
群论的魅力就在于，它把很多外表看来毫无联系的事物的本质挖掘出来，让我们知道这些风马牛不相及的事情其实具有相同的抽象本质。比如，床垫的翻转、一组电器开关状态的变化逻辑，以及水分子的对称性，其实都可以用上面的这个群来表示。这让我想到著名物理学家理查德·费曼的一则逸事:
在入伍体检时，需要通过精神科医生的检查。当时，医生让费曼把手伸出来给他看，结果费曼立刻伸出双手，一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。医生说:“不是这样，把手翻过来。”费曼闻声把双手都翻了过来，还是一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。
费曼的这个恶作剧只有懂得群论的人才能体会其中的幽默。如果我们考虑一下伸出两只手一共可能存在的4种状态，以及其中的转化过程，我们就会发现，伸手问题和翻转床垫问题的本质是完全一致的!
如果你觉得用群论的方法来解决床垫问题未免太令人头晕了，那么，我们还是回归一个简单的真理:如果有什么事情让你感到烦恼，那么最好的解决方法就是倒头大睡。