［坡仔跟你一起阅读好书·第一百零二期］《X的奇幻之旅》Part 6 前沿——第二十七章 拓扑:用莫比乌斯带写成的忧伤爱情
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第二十七章 拓扑:用莫比乌斯带写成的忧伤爱情故事
我们的社区小学会定期举办家长日活动。家长日那天，学校会邀请学生们的家长给孩子们做演讲，这些演讲让孩子们有机会了解不同工作和不同领域中的各种知识。
轮到我演讲的那天，我给上一年级的女儿的同班同学带去了一大包莫比乌斯带。莫比乌斯带是怎么制作的呢?前一天晚上，我和妻子一起把一条长纸带剪成一小段一小段的，然后像下图中这样把每一小段纸带扭一下。
扭过之后，再用胶带将小纸带黏起来，一个莫比乌斯带就做成了。
这个简单的小手工作品，在6岁孩子的手上可以玩出很多花样开。我需要的只是一把剪刀、几支蜡笔、一卷胶带和一点儿好奇心。
在我和妻子给女儿班上的孩子们分发莫比乌斯带和上述工具的时候，老师问班上的孩子们:“你们觉得这个物品与哪一个学科有关呢?”有个小男孩举手回答说:“我不知道，但应该不是语言学。”
我想。老师当时大概觉得小朋友们会回答“美术”或者“艺术”之类的学科。一个更早慧的孩子也许能答出“数学”这个答案。事实上，这个问题的最佳答案是:“拓扑”。(我所说的并不夸张，在伊萨卡市的小学里，绝对有一年级的小学生能答出“拓扑”这两个字来，只不过那位拓扑学家的孩子恰好在隔壁班上。)
什么是拓扑?拓扑是几何学的一个分支，它是现代数学中一个非常有活力的学科。拓扑不像前面说到的几何学那么严肃和严谨，在拓扑学中，只要你能通过弯曲扭转、拉伸等方法把一个形状连续(连续指的是不能撕裂，也不能刺穿)地变成另一个形状，我们就认为这两个形状是等价的。在传统的几何学中，每个物体都是坚硬的、不可变形的;而在拓扑学中，物体似乎具有无限的弹性，我们可以想象这些物体是由一种理想化的橡胶或者橡皮泥制成的。
拓扑学揭示出形状的深层次的本质性质--这些性质不会因为任何连续的形变而改变。比如，一个正方形橡胶圈和一个圆形橡胶圈在拓扑学上是等价的。虽然正方形橡胶圈有4个角和4条直线边，但这些特征在拓扑学上都属于无关信息。经过一个连续的形变过程，正方形橡胶圈就可以变成圆形橡胶圈，它的4条直线边会转化成圆弧的形状。
连续的形变可以把方的变成圆的，但有一个性质无法改变，那就是这两个橡胶的本质结构都是“圈”。不管是圆形橡胶圈还是正方形橡胶圈，它们都是圈状的闭合曲线，这就是它们共同的拓扑结构。
回到我们的莫比乌斯带。莫比乌斯带包含一个扭转半圈的扭结，不管怎么形变、这个扭结都仍然存在，这就是莫比乌斯带的拓扑性质。正是因为有了这个扭结，莫比乌斯带才有着如此重要的数学性质。相信很多读者都听说过莫比乌斯带最重要的性质:它只有一个面，也只有一条边。也就是说，莫比乌斯带的正面和反面其实是同一个面，它的上边缘和下边缘是同一条边。(不相信的话，你可以把手指放在莫比乌斯带一面的任何一点上，然后沿着这个面向前移动，最终你会遍历莫比乌斯带的所有地方，然后回到出发点。同样，你也可以把手指放在莫比乌斯带的上边缘上，然后沿着上边缘一直向前移动，最后你会遍历莫比乌斯带的整个边缘，回到出发点。)为什么会这样呢?一条纸带本来有上边缘和下边缘这两条边，但是这个扭结却把这两条边连在了一起，形成了一条更大、更长的连续曲线。同样，这个扭结还把纸带本来拥有的两个面合成了一个面。黏上胶带，形成一个闭合形状的那一刻，上述性质就成了莫比乌斯带的永久属性。你可以随意拉伸或扭转一个莫比乌斯带，但它永远都会有一个扭转半圈的扭结，永远都只有一个面和一条边。
我给一年级的孩子们发放莫比乌斯带，让他们亲自体会莫比乌斯带的上述神奇性质。通过这样的教学方式，我希望孩子们可以体会到数学的奇妙与乐趣。
首先，我让每个孩子拿出一支蜡笔，沿着莫比乌斯带任意一面的中心线认真地画出一条线。我看到孩子们认真地皱起眉头，开始用蜡笔追踪这条看不见的线(下图中的虚线)。
画完以后，很多孩子放下笔，脸上露出困惑的表情。他们开始兴奋地和周围的孩子分享自己的发现:这条线居然没有回到出发点形成一个闭合的圈，而是延展到莫比乌斯带的另一面上去了。这是孩子们碰到的第一件怪事:对于莫比乌斯带来说，需要绕两圈(而不是一圈)，才能回到出发点。
这件怪事让班上的一个小男孩感到非常不安。当画完一圈发现蜡笔没有回到出发点的时候，这个小男孩觉得自己一定是什么地方画错了。不管我们怎样安慰他，告诉他莫比乌斯带的性质就是这样的，这个小朋友始终认为自己画得不对。虽然我们不断地跟他说“你做得很好，做得完全正确”，这个小男孩却坚决不接受我们的表扬，而是坐在地上伤心欲绝地大哭起来。
在这个孩子的哭声中，我略带不安地让孩子们开始下一项活动。我问孩子们:如果沿着刚才画出的这条中线，用剪刀把莫比乌斯带剪开，会出现什么情况?
孩子们争先恐后地回答说:莫比乌斯带会被一分为二，我们会得到两个分离的部分。但当他们亲手剪开莫比乌斯带以后，奇怪的事情发生了:莫比乌斯带并没有变成两部分，而是变成了一个更大、更长的环。孩子们仿佛看魔术表演一般，发出了惊奇和兴奋的叫声。
之后，孩子们就进入了失控的状态。他们不肯再专心听我说话，而是自己开始进行实验。通过自由发挥，孩子们制造出了各式各样的新莫比乌斯带，有的有两个扭结，有的有3个扭结。他们还忙着把这些莫比乌斯带剪成2段、3段或者4段。一时间到处都是各式各样扭来扭去的环形物，项链、锁链、绳结等，不一而足。孩子们互相喊着“看我的”、“你看看我的”，教室里乱成了一锅粥。但我始终无法忘记那个因为莫比乌斯带而坐在地上大哭的小男孩，希望我没有给他造成心灵创伤。
这个小男孩并不是唯一一个在数学课上心情不佳的孩子。有一个叫维·哈特的女高中生也很讨厌枯燥无味的数学课。上数学课的时候，她不听老师讲课，而是在下面涂鸦:画蛇，画树，画许多头小象排队。维·哈特称自己是一位“全职娱乐数学的音乐家”。她把自己的一些涂鸦之作上传到了YouTube网站上。令人意想不到的是，这些视频居然获得了数万次的点击量，尤其是她画的小象，点击量竟然达到了上百万次。这个孩子的涂鸦和其他作品都是原创的。
我很喜欢维·哈特做的关于莫比乌斯带的两个视频，她非常巧妙地利用了莫比乌斯带奇特的性质，把数学与音乐和故事联系到了一起。其中一个视频里演示了她自制的莫比乌斯带音乐盒。音乐盒演奏的是她自己写的一段音乐，音乐的灵感来自《哈利·波特》系列小说。
维哈特把自己写的这段音乐用打孔的方式记录在一卷纸带上，然后把这卷纸带装进一个标准的音乐盒里。新奇的地方在于，一般音乐盒里的纸带都是环状的，而维·哈特的这个音乐盒却采用了一个莫比乌斯带。当然，需要对音乐盒做一些技术改进，才能让它顺利地播放这个特殊的纸带。她的这个音乐盒首先会正常地播放一遍这段音乐。而当纸带转动到了扭结处，音乐盒就开始播放这条打孔纸带的反面。音符还是那些音符，但所有的音都颠倒了，高音变成了低音，低音变成了高音。音符的顺序并没有改变，只是纸带上下翻转，莫比乌斯带把维·哈特写的音乐转化成了另一段不同的音乐。
维·哈特的另一段视频比莫比乌斯带音乐盒更加别出心裁。这段视频叫作《莫比乌斯故事:伊格先生和风》。这是一个既甜蜜又忧伤的爱情故事。在故事的开始，一支马克笔画出了一个看似普通的小三角形，这个小三角形的名字叫作“风”。“风”默默地住在一个平面的世界里，这个世界是一条透明的莫比乌斯带。“风”感到有些孤独，但它总是很乐观，因为它知道这个世界上除了它自己之外，还住着一位神秘的绅士——伊格先生。“风”很想要遇到伊格先生，可是却怎么也碰不到他。伊格先生就住在同一条街上不远的地方，可是每当“凤”来到伊格先生的家门口，伊格先生总是不在家。“凤”很喜欢伊格先生在门上写给她的留言，它相信自己总有一天会见到伊格先生。
剧透警告:如果你不想听这个故事悲伤的结局，就请跳过下一段吧。
“风”不知道的是，伊格先生并不存在。伊格先生只是“风”在透明的莫比乌斯带另一侧的倒影而已。维·哈特很有编剧的天赋，她对故事中的图形和文字进行了巧妙的编排。“风”的名字、“凤”的家、“凤”自己写下的留言，颠倒之后在莫比斯带的另一侧看起来恰好是伊格先生的名字、伊格先生的房子，还有伊格先生写给“风”的留言。
我无法用语言表达出这段影片的妙处。建议你去看一看这个视频，相信你会发现其中的智慧。维·哈特用一个感人的小故事如此生动地演绎出莫比乌斯带的性质，对她的才华我真是由衷地钦佩。
很多艺术家都从莫比乌斯带迷人的性质中获得了灵感。埃舍尔在他的画作中表现过蚂蚁被永远地困在一个无穷的圈上的情形。雕塑家马克思·比尔和启三都曾在作品中用到过莫比乌斯带的图案。
世界上最宏伟的莫比乌斯带结构，可能将会出现在筹建中的哈萨克斯坦国家图书馆的建筑中。哈萨克斯坦国家图书馆项目由丹麦BIG建筑公司负责设计。BIG公司打算建一条莫比乌斯带结构的公共步道，“走在这条步道上，墙壁会慢慢变成屋顶、屋顶又会慢慢变成地面，然后地面再变回墙壁”。我想那种感觉一定十分奇妙。
不光是艺术家，工程师们也会把莫比乌斯带的结构用到设计中去。从维·哈特音乐盒的例子我们知道，一条莫比乌斯带状的播放带的播放时间比普通环状的播放带要长一倍。根据这一性质，B.F·古德里奇公司发明了一项专利技术:莫比乌斯传送带。莫比乌斯传送带一次的运行时间比传统传送带长一倍，因为每次可以把传送带的正反两面都利用到(当然，从技术上来说莫比乌斯带只有一面，但是相信你可以理解这句话的意思)。除此之外，利用了莫比乌斯带性质的专利技术还包括电容器、腹部手术拉钩、带自净功能的干洗机过滤部件等。
但是，拓扑学在日常生活中最伟大的应用并不是莫比乌斯带，而是切坚果面包硬面包圈)的技巧。这一技巧同样用到了扭转和连接等概念，掌握这个技巧以后，下次周日早晨再有客人来访时，你就可以好好露一手了。这一技术的发明人是乔治·哈特——我们上文提到的天才女高中生维·哈特的父亲。乔治·哈特是一位几何学家兼雕塑家，他曾担任纽约州立大学石溪分校计算机系的教授，还在纽约市的数学博物馆当过首席展览设计师。乔治·哈特发明了一种切坚果面包的方法，这种方法切出来的坚果面包的两部分是锁链般地连在一起的。
这种切法的优点有两个:一是能给你邀请来的客人留下极为深刻的印象，二是能产生比普通切法更大的表面积，这样你就能够在一片面包上涂上更多的黄油或者油乳酪了(这项技术也许不适用于想减肥的人)。