［坡仔跟你一起阅读好书·第一百零三期］《X的奇幻之旅》P6 前沿——第二十八章 微分几何:两点之间最短路径不止一条
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第二十八章 微分几何:两点之间最短路径不止一条
从勾股定理到平行线永不相交，这些永恒的真理都是基于一个想象中的二维平面。你有没有想过，为什么人类最早发明的几何学分支是平面几何呢?那是因为在古代，人类认为我们生活的大地就是一个平面。
平面几何起源于2500多年前的古印度、古中国、古埃及和古巴比伦。最终，以欧几里得为代表的希腊数学家完善了它，并将其编纂成书。直到今天，平面几何仍是高中几何教学的主要内容(甚至是唯一内容)。但是，几千年以来，随着人类的进化，很多事情已经悄然发生了改变。
在全球化的今天，我们有了谷歌地球，还可以轻松地乘飞机跨越各大洋和大洲。在这样的环境中，也许我们每个人都应该懂一点儿球面几何，以及球面几何的现代化推广——微分几何。球面几何和微分几何的基本理念，直到大约200年前才被发明出来。卡尔·弗里德里希·高斯和波恩哈德·黎曼是微分几何这一创新事物的先驱者。正是在微分几何的基础上，人类才得以建起一座新的智慧丰碑——爱因斯坦的广义相对论。微分几何的技术细节虽然十分高深，但是它的核心理念却是非常简单而美丽的，任何人只要骑过自行车、见过地球仪，或者玩过橡胶环，就应该可以理解微分几何的核心理念。在理解了微分几何以后，你会发现、旅行中一些看起来很奇怪的事情，其实都是很有道理的。
比如在我小的时候，我爸爸很喜欢考我一些地理问题。爸爸会问我:“意大利的罗马和美国的纽约哪一个城市位于更北一些的地方?”对于这个问题，我想大部分人都会猜测纽约似乎更靠北一些，但是，其实罗马和纽约几乎在同一个纬度上，严格来说，罗马还要稍微偏北一点儿。在平面的世界地图(平面的世界地图使用的是墨卡托投影，这种画法其实是具有一定的误导性的，实际上，格陵兰岛的面积根本不像地图上看上去那么大)上，纽约和罗马几乎在同一条纬度线上，仿佛从纽约一直向东走，你就会走到罗马。
可是，当你真的乘飞机从纽约飞往罗马，你就会发现航空公司的航线根本不是一直向东。从纽约起飞以后，飞机会往东北方向飞，环绕加拿大的海岸线。为什么会这样呢?我曾经以为航空公司是为了安全起见而选择尽量在陆地上空飞行，但事实并不是这样的。当你考虑到地球不是一个平面而是一个球体时，你就会明白，这种不符合我们直觉的航线才是纽约到罗马的最短路线。纽约到罗马的最短路线不是一路向西，而是先穿过新斯科舍省和纽芬兰，再飞过大西洋，然后经过爱尔兰和法国，最终到达阳光明媚的意大利。
在球面上，这样的航线被称为“大圆”的一条弧。就像平面上两点之间直线最短一样，球面上两点间的最短路径是大圆。之所以叫作“大圆”，是因为这些曲线是你能在一个球面上找到的最大的圆。比如，地球的赤道就是一个大圆，同时穿过北极点和南极点的圆也是一个大圆。
平面上的直线和球面上的大圆，还有另一个共同点:它们都是两点间最直的线。这句话听上去十分奇怪:球面上所有的线都是曲线，为什么大圆会是两点间“最直的线”呢?因为球面上不同曲线的弯曲程度是有所差异的。除了完成一个必要的任务——贴合球的表面——以外，大圆就不再有任何额外的弯曲度了。
为了让这个性质更加直观，我们尝试这样想:假设你在地球的表面上骑着一辆小自行车，试图沿着某条既定的路线前进。如果这个既定路线是大圆，那么你就可以时刻保持前轮笔直朝前。从这个意义上来说，大圆就是地球表面最直的线。如果你在南极或北极附近沿着一条纬度线骑自行车前行，你则需要不断地转动自行车的车把手，才能不偏离既定路线。
当然，在各式各样的表面中，平面和球面都算是性质相当简单明了的。人体的表面、易拉罐的表面，或者一个坚果面包的表面——这些不规则的、复杂的表面才是表面的常态。这些表面不仅不对称，还有很多其他的弯曲度，在这样的表面上行走的话一定很容易迷路。在这些非特殊的表面上，要找到两点之间距离最短的路径可不是一件容易的事情，这其中的技术细节是非常复杂和琐碎的。因此，让我们绕开这些复杂的技术问题，用一种直觉化的方法来审视和理解这个问题。这时候，我们就要用到橡皮绳了。
想象一种光滑而有弹性的橡皮绳，这种橡皮绳会在附着在物体表面的前提下，尽最大努力收缩。有了这种神奇的橡皮绳，找到纽约和罗马间的最短路径就很容易了。同时，我们也可以用这种橡皮绳找出任意表面上的任意两点间的最短路径。只要把橡皮绳的两端分别系在起点和终点上，橡皮绳就会在附着在物体表面的前提下，尽最大努力收缩。最后，橡皮绳绷到最紧，橡皮绳所经过的路径就是这两点间的最短路径。
当我们用这种方法研究一些比平面和球面稍微复杂一些的表面时，我们就会注意到一个很奇怪的现象:两点之间存在很多条最短的路径，两点之间的最短路径并不是唯一的。比如，在一个易拉罐的外表面上，我们考虑这样的两个点:其中一个点在另一个点的正下方。
显然，这两点间的最短路径是一条直线，如上图所示。如果我们用橡皮绳来试一试，橡皮绳就会呈现上图中的状态。但事情并没有这么简单，圆柱形的易拉罐给我们带来了很多变化的可能性。比如，我们可以要求橡皮绳在连接这两点之前必须包围住这个圆柱体(在染色体中，当DNA缠绕住某些蛋白质时，人体就会给DNA下达这样的限制性指令)。在这个新的限制条件下，橡皮绳最后会绷紧成为一个螺旋形，就像老式理发店前的那个转轮上的曲线。
这个螺旋状的曲线也是这两点之间的局部最短路径，因为在此路径附近的所有路径中，这条曲线是最短的。如果你稍微拉一下橡皮绳，橡皮绳就会变长一点儿，跑到此路径附近的另一条路径上去。而你一放手，橡皮绳又会收缩，回到上图的路径上去。所以，我们可以说，这条路径是局部最短的路径，在两点间所有包围住这个圆柱体的路径中，上图的这条路径是当之无愧的冠军。(正是出于这个原因，这个学科的名字叫作“微分几何”。微分几何研究的是各种形状上局部的小变化所产生的效应，比如上图的螺旋形路径和其周围的其他路径的长短关系。)
但是，问题到此还没有结束，既然有绕圆柱一圈的最短路径，就同样有绕圆柱两圈、三圈、四圈的最短路径。在一个圆柱体的表面，两点之间有无数条局部最短的路径。当然，这些螺旋形的路径都不是全局的最短路径，因为第一幅图里的直线才是全局的最短路径。
同样，在一个有很多洞和把手的表面上，两点间也会有很多局部最短的路径。这些路径可能会以各种弯弯曲曲的方式经过这个高低起伏的表面。柏林自由大学的数学家康拉德·伯锡尔制作了一段视频，来演示这种表面上的局部最短路径的不唯一性。下图就是视频里的一幅截图。图中这个8字形的假想面学名叫作“两孔环面”，这些局部的最短路径的学名叫作“测地线”。
上图中的3条测地线分别经过了两孔环面上极不相同的部分，所以这3条测地线的形状也各不相同。但这3条曲线有一个共同点:相比附近的其他路径，它们都是局部最短、最直的曲线。就像平面上的直线和球面上的大圆一样，这些测地线是两孔环面上最直的曲线。这3条测地线随两孔环面的表面而弯曲，但它们自身却不弯曲。为了解释清楚这一点，伯锡尔制作了另一段视频。
在上图中，两孔环面的测地线被修上了高速公路。一辆无人驾驶的摩托车在这条公路上沿着测地线自动行驶。神奇的是，在行驶的过程中，摩托车的车把手完全没有转动，车头始终保持朝前的方向。也就是说，摩托车不需要进行任何转弯的动作，就可以沿着这条测地线的路径前进。通过这种直观的演示，我们可以发现，测地线和球面上的大圆一样，是平面上的直线自然衍生出来的。
看了上面这些“奇幻”的情节，你可能会问，测地线在现实世界中有什么用处吗?当然有。爱因斯坦向我们证明，当光线在宇宙中遨游时，它们总是沿着测地线传播。1919年日食观测时，人类发现星光经过太阳附近时会发生弯曲。这一发现验证了爱因斯坦的理论:在弯曲的时空中，光线确实是沿着测地线传播的。而这种时空的弯曲是由太阳的引力造成的。
用微分几何寻找两点间最短距离的另一个更加实用的例子，是互联网流量的疏导问题。在这里，我们要处理的“面”不是上面提到的那些平滑的表面，而是数不清的网址和链接形成的庞大迷宫。在互联网流量疏导的问题中，我们要研究的是算法的速度——找出一个网络中最短路径的最快算法是什么?因为通过一个网络的可能路径多到无法想象，所以这个问题是非常难以解决的。我们必须感谢数学家和计算机专家的惊人智慧，要不是他们成功地解决了这个问题，我们上网时网速会慢得让人难以忍受。
在生活中，人们常常会说“两点之间直线距离最短”，这句话的言外之意就是，“别把事情搞得太复杂了，简单的才是最好的”。但是，有时候，正是因为有复杂的障碍和限制条件的存在，我们才能创造出更美、更伟大的事物。在艺术方面，在数学方面，想收获最甜美的果实，往往先要给自己制造一些限制条件。想想俳句，想想十四行诗，想想用6个字描述的人生故事，这些事物的美，就在于我们可以戴着镣铐跳出最精彩的舞蹈。当你找不到一条简单的直线时，你需要懂一点儿微分几何学知识，才能找到两点间的最短路径。在人生路上，如果看不到通向目标的坦途，你也不必灰心，学一点儿人生的微分几何学吧。
如果你正为前途而烦恼，别忘了，两点之间的最短路径不止一条。这是数学给我们的鼓励和祝福。