［坡仔跟你一起阅读好书·第一百零四期］《X的奇幻之旅》P6 前沿——​​​​​​第二十九章 无穷数列的和与一个温文尔雅的骗子

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第二十九章 无穷数列的和与一个温文尔雅的骗子

       从外表看来，“数学”这个家伙有种说一不二的强硬性格，如同一位令人恐惧的黑手党首领，数学一旦做了什么决定，就是一锤定音、令出必行，没有任何商量的余地。数学给出的结论都是一些让你无法拒绝也毫无辩驳机会的结论。

       但是私底下，数学也会有缺乏安全感的时候。它也有怀疑、忧虑和脆弱，也会不清楚自己做的到底是对还是错。尤其当遇到无穷大的问题的时候，数学会夜不能寐，整夜地担忧和挣扎，被存在的恐惧感所折磨。在数学的发展历史上，无穷大的引人不止一次造成过混乱和恐慌，有时整个数学王国甚至都走到了崩溃的边缘，那实在是相当凶险的处境。

       在美国有线电视网络媒体公司(HBO)播出的电视剧《黑道家族》中，黑帮老大托尼·索普莱诺发现自己的母亲竟然想杀了自己，他因此感到极度焦虑，不得不去看精神科医生。可见，黑帮老大也有恐慌和脆弱的时候，在凶狠的外表下，隐藏着的是一颗恐惧而迷惑的心。

       ​同样，微积分也遇到过这样的危机。在微积分最风光的时候，它也曾有恐惧不安的时刻。几个世纪以来，微积分所向披靡、不可一世，它毫不费力地横扫眼前的一切问题，解决得干净利落。但在内心里，微积分知道自己体内某些本质的问题一直在隐隐作痛。昔日让它功成名就的东西--它处理“无穷”时那无所畏惧的强硬态度--正是今日要将它彻底摧毁的祸根。幸好，经过治疗，微积分终于顺利度过了危机，这种治疗方法的名字叫作“分析”。

       18世纪的时候，数学家们曾被这样一个无穷数列所困扰:

       1-1+1-1+1-1+……

       这个数列并不复杂，它描述了一种无穷的摇摆状态:前进一步，再后退一步，又前进一步，再后退一步，不断重复，直至无穷。

        问题是:这个数列能成立吗?如果能的话，它的和是多少呢?

       面对这样一个无穷数列，乐观主义者会试图把我们在有限求和时总结出的那些规律拿出来看看能不能用在无限求和的问题上。比如说我们知道1+2-2+1两数或多数相加时，我们可以任意改变两个数的位置，而求和结果不变: a+b=b+a，这就是加法交换律。当两个以上的数相加时，我们还可以在算式中随意加入括号，将几个数组合起来，最后的结果也会保持不变。比如，(1+2)+4-1+(2+4)。不管是先算1+2，再加上4;还是先算2+4，再加上1，结果都是一样的，这就是加法结合律。当一个求和数列里有加法有减法时，这些规律同样适用，只要记住“减去一个数等于加上相应的负数”这个原则就可以了。比如，从上面的无穷数列中截出3项:1-1+1等于多少呢?我们可以将这个算式看作(1-1)+1，也可以把它看作1+(-1+1)。在第二个算式里，我们把减去1的运算换成了加上-1的运算，显然这两种算法是等价的。不管用哪种方法计算，1-1+1都等于1。

       但是，当我们从有限求和转为无限求和，就会有些不愉快的问题出现。如果我们对上述无穷数列使用加法结合律，会出现什么情况呢?一种做法是把每对+1和-1结合起来，上述数列就会变成:

       1-1+1-1+1-1+……

       =(1-1)+(1-1)+(1-1)+……

       =0+0+0+……

       =0

       另一种做法是把第一个1留下来，后面的每两个-1和1互相组对:

        1-1+1-1+1-1+……

        ​=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+……

        =1+0+0+0+……

        =1

       这两种算法都有道理，也不存在一种算法比另一种算法更好的情况。那么，难道这个数列的和既是0又是1?这个结论在今天听起来很荒谬，但在当时竟然有不少数学家都觉得这个某谬的结论是可以接受的——既然上帝能从虚无中创造世界，那么一个数列的和就可以既是0又是1。1703年，当时的一位牧师身份的数学家吉多·格兰迪这样写道:“如果我原意的话，只要在1-1+1-1+1-1+……这个数列里以不同的方式加入括号，就可以得到0或者1这两种答案。由此可以看出，神造世界、无中生有这个概念是非常有说服力的。”

       虽然这么说，格兰迪还是更喜欢第三种答案。这个答案的结果并非0和1，你能猜出结果是什么吗?我想，你会用一种开玩笑但又极具专业性的口吻说:“那应该是1/2 吧。”

      没错，格兰迪认为，这个无限数列真正的和是1/2。不仅格兰迪这么认为，当时一些比他更出色的数学家，比如莱布尼茨和欧拉，也认为这个数列的和是1/2。证明这个数列的和是1/2有很多不同的方法，其中最简单的一种是，把这个数列的和表示为这个数列的和的一个等式，再解出这个和。让我们用S来表示这个数列的和，根据定义可表示为:

       S=1-1+1-1+1-1+……

       现在我们先把第一个1留在一边，考察从第二项开始的各项。显然，去掉第一项以后，这个数列和原先的数列是一样的，所以，我们可以写成:

        S=1-1+1-1+1-1+......

          =1-(1-1+1-......)=1-S

       通过解S=1-S这个方程，我们得到S=1/2。

       好了，现在关于这个数列的和到底是多少，我们已经有了3种不同的答案:0、1和1/2。这个数列的和究竟是多少，争论一直持续了150年左右。之后，一个崭新的技术出现了，一批“分析家”们一下子就打好了微积分和无限概念(包含极限、导数、积分、无限序列)的坚实基础。在这个基础上，微积分学科被系统地建立了起来，它的逻辑体系和欧几里得几何学一样严密。

       微积分学提出了两个重要的概念，一是“部分总和”，二是“收敛”。“部分总和”是一个动态的和:你可以把有限个项加总求和，然后在任意一项停止，就得到了到这一项为止的部分总和。比如说，对于上述无穷数列1-1+1-1+1-1+……，我们可以求出前3项的和:1-1+1=1，我们把这个部分总和记作S3。其中，字母S代表“总和”，下标3表示这是前3项的部分总和。

       对于这个无穷数列，我们可以求出到任意项为止的部分总和:

​

       ​不难看出，这个无穷数列的部分总和不断地在0和1之间振荡。不管我们加多少项，部分总和永远会在0和1之间摆动，它不会收敛到0，也不会收敛到1，更不会收敛到1/2。因为上述无穷数列1-1+1-1+1-1+……的和不会向任何一个数收敛，所以今天的数学家会说，这个数列是发散的。

      换句话说，当我们不断地加上更多的项，这个数列的部分总和都不会趋向于任何极限值。因此，讨论这个无限数列的和是没有意义的。

       既然如此，如果我们小心地避开这样的领域，只考虑那些会收敛的无限数列的和，之前的悖论是不是就完全解决了呢?

       很遗憾，不是的，噩梦还在继续。但是，这样的噩梦带来的也并不都是负面信息，正是在与这些“恶魔”的战斗中，18世纪的数学家们发现了微积分学科里深埋的秘密，并把这些秘密暴露于阳光下。在这个过程中，我们获得了很多宝贵的经验，学到了很多无价的知识。这些经验不仅关乎数学本身，还关乎数学在音乐、医学成像等领域的应用。

       让我们来考虑这样一个级数，它的学名叫作“交错调和级数”，形式如下:

       与上文提到的那个无穷级数不同的是，现在我们不是前进一步又后退一步以至无穷了。这个级数的每一步都比前一步小一些:前进一步，后退半步，再前进1/3步，又后退1/4步，如此重复，以至无穷。注意，在交错调和级数中，奇数项的前面是正号，偶数项的前面是负号。交错调和级数的部分总和的计算如下:

​       如果我们一直这样加下去，就会发现这个级数的部分总和朝着一个约等于0.69的数字收敛。事实上，我可以证明，这个级数是收敛的，它的极限值是2的自然对数In2。In2的值大约是0.693 147。

       所以，这怎么会是“噩梦”呢?这不是挺好的吗?从外表来看，交错调和级数收敛得完全正常，就像一个懂礼貌、有教养的绅士，是每个父母心目中的“理想女婿”的人选。

       然而，这种无害的外表，正是交错调和级数最危险的地方。在温文尔雅的外表下，隐藏的是一个骗子、一个变色龙、一个超级狡猾的精神病人，这个人可以扮成任何模样，只要用不同的方法对这个级数求和，你就可以得到任何你想要的结果。

       这个级数可以收敛为任何实数:可以是297.126，可以是-42元，可以是0，你想让它是什么，它就能变成什么。

       在交错调和级数的眼里，加法结合律根本一文不值。只要改变求和的顺序，就可以随意改变求和的结果，这种事情在有限项求和中是永远不可能发生的。因此，虽然交错调和级数是收敛的，但是它仍然具有一些无法想象的奇特性质。

       在此，我不打算详细证明这个结论(这个结论的学名叫作“黎曼重排定理”或者“黎曼级数定理”)。为了获得一个直观的印象，让我们来看一种特定的“重排”方法，这种重排方法比较简单，求和也相对容易。假设我们把交错调和级数中每两个负数项和一个正数项结合起来:

       然后，将每一个括号里的算式进行化简运算:第一项和第二项相减，第三项保持不变。经过这样的处理，这个级数就变成:

       现在，我们从每个括号中提出一个1/2来，这个级数就变为:

       看出什么端倪来了吗?括号中的算式不就是交错调和级数本身吗?重排之后，这个级数仍然含有与原来相同的项，但是结果却变成了原来的1/2。经过这样的重排，交错调和级数收敛为In2=0.346……这是一种多么奇特的情况!但是，你可能没有想到的是，交错调和级数和我们的现实生活是息息相关的。在本书里，我们可以反复发现，哪怕是最深奥、最抽象的数学概念，也能被应用到现实世界中去。交错调和级数和科学技术领域里的许多问题都有联系:在信号处理领域，在声学、金融和医学领域，我们常常需要把各种各样的曲线、声音、信号或者图像表达为一些更为简单的曲线、声音、信号或图像的加总。如果加总的基本单位是正弦波，那么这种技巧就叫作“傅里叶分析”。当要分析的级数具有与交错调和级数(或者与交错调和级数类似的级数)类似的性质时，经过傅里叶分析得出的傅里叶级数的收敛性质可以说是非常奇特的。

       ​下面这个例子就是直接从交错调和级数变化而来的一个傅里叶级数:

       我想大家都想象不出来这个级数到底是什么样子的，那么，我就帮大家把这个级数前10项的和画出来。

       上图中的实线就是这个傅里叶级数的部分总和。可以看出，这个函数图像是在模拟另一个更加简单的曲线:一个锯齿形状的波(图中用虚线表示)。但是，问题恰恰出在这个锯齿的尖端上。每次到了锯齿的尖端，函数图像就会突然飙高，背离这个锯齿状的波形，形成一个手指般的奇怪形状。为了看得更清楚一些，让我们把锯齿的尖端x=π的部分放大一些。

       ​如果我们计算更多项的部分总和，情况会不会有所改善呢?很可惜，不会。下面的两张图分别是这个傅里叶级数前50项和前100项的部分总和，从中可以看到手指形状并没有消失。虽然手指形状变得更细了，也更加靠近锯齿的尖端，但是手指形状的高度还是和之前差不多。

       ​问题的根源还是之前谈到的交错调和级数。交错调和级数的问题“传染”给了傅里叶级数，才形成了这些惹人讨厌的手指形状。

       这种现象明作“吉布斯现象”自19世纪中叶被发现以来，吉布斯现象不仅是一个有趣的抽象数学概念，它还对数码摄影和医学上的核磁共振成像问题有着现实的影响。在核磁共振图像的锋利边缘上，会出现一些我们不想看到的模糊、反光和其他不正常的图像。这些图像正是吉布斯现象造成的，它们可能会被误诊为病变的组织，也可能会妨碍我们看清楚一些重要的病理表现。

       幸运的是，一个多世纪以前，数学分析学家就已经查明了吉布斯现象的成因。这些数学上的进步，让我们能够在一定程度上克服吉布斯现象造成的不良影响，就算是在无法克服的情形下，我们至少也可以预测吉布斯现象的发生和影响。

       看来，“分析”这种治疗方法很好地解决了微积分的内在问题。也许，现在到了给分析疗法结账的时候了。