［坡仔跟你一起阅读好书·第一百零五期］《X的奇幻之旅》P6 前沿——第三十章 “显示满房却永远有空房”的希尔伯特酒店
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第三十章 “显示满房却永远有空房”的希尔伯特酒店
2010年2月，我收到了一封电子邮件。邮件的发件人名叫金·福布斯，在邮件中，福布斯女士告诉我说，她6岁的儿子本向她提出了一个数学问题。因为无法回答这个问题，她才写邮件向我求助。
这个数学问题是这样的:
今天是我儿子就读学校的100周年校庆日。我的儿子非常兴奋地告诉我数字100的各种性质。他说，100是一个偶数，101是一个奇数，100万又是一个偶数。说完了这些，我的儿子问我:“妈妈，那无穷大是奇数还是偶数?”
我回信告诉福布斯女士，无穷大既不是奇数也不是偶数。无穷大与我们常见的那些具体的数字不同，它并不服从算术的一些定律和性质。原因在于，如果无穷大服从具体数字的所有性质的话，就会产生诸多矛盾。比如，如果无穷大是奇数，那么两倍的无穷大就是偶数，而两倍的无穷大和无穷大不应该有任何区别，因为两者都是无穷大。因此，奇偶数的概念并不适用于无穷大。
这封邮件发出以后，福布斯女士很快就回复了我，她在邮件中写道:
谢谢你，我的儿子本对你的解答非常满意。本说，无穷大太大了，大到了既是奇数又是偶数的境界，他觉得这个理念很有意思，他很喜欢。
虽然这封邮件在措辞上有些错误(无穷大并非既是奇数又是偶数;它既不是奇数，又不是偶数)，但小男孩本的想法却揭示出一个真理:无穷大确实是一个很让人费解的概念。
在19世纪末期，随着格奥尔格·康托尔在集合论领域取得突破性贡献，无穷大的那些奇特的性质首次浮出了水面。康托尔致力于研究数和点的无限集合，比如(1，2，3，4，......]这个自然数集合，或者一条直线上点的集合。为了比较不同的无限集合，康托尔发明了一套非常严密的逻辑方法。令康托尔震惊的是:他发现有些无穷大比另一些无穷大的数值更大。
当时，数学界不仅不肯接受康托尔的理论，甚至还对他的理论产生了一些愤怒和敌对的情绪。当时非常有名望的数学家亨利·庞卡莱认为康托尔的理论是一个“毒瘤”。但是，另一位数学大师戴维·希尔伯特却认为康托尔的工作是一个巨大的突破性贡献。希尔伯特后来这样说道:“康托尔给我们建造了一座天堂，任何人都不能把我们从这座天堂里赶出去。”
我写作本章的目的，就是想带你去看看这个天堂到底是什么模样。不过，我不打算从数集和点集开始谈起，而是要用一个比喻来形容这个天堂的样子。这个比喻是戴维·希尔伯特本人发明的，通过这个“大酒店”的比喻，希尔伯特生动地描述出康托尔理论的诡异和美丽。这个比喻被人们称为“希尔伯特酒店”。
希尔伯特酒店的特殊之处在哪里呢?这个酒店的特点是:它永远显示满房，却又永远有空房间。
希尔伯特酒店的面积非常大成百上千都不足以形容酒店的房间数量，它的房间数量是无穷大。每有一位新的顾客到来，酒店经理就让1号房的客人移去2号房、2号房的客人移去3号房、3号房的客人移去4号房......这样，1号房间就可以空出来给新的客人居住，而之前的所有人住客人仍然都有房间可住(除了要麻烦他们换一下房间)。
现在，假设突然来了无穷多个新客人，他们风尘仆仆，不耐烦地要求马上人住。这可难不倒希尔伯特酒店的经理。这次，经理另辟蹊径:让1号房的客人移去2号房，2号房的客人移去4号房，3号房的客人移去6号房......这样折腾了一番之后，所有奇数号的房间都空了出来--无穷大间奇数号的房间，完全可以容纳下无穷多位新客人。
这一轮腾挪，事情还没有结束。深夜时分，酒店门口突然驶来了无数辆客车，每辆客车里面都有无数位客人。这些客人全部要求入住，希尔伯特酒店仍然表示毫无压力，因为它的宗旨就是:永远有空房!
希尔伯特酒店的经理可是见过大世面的，这种场面一点儿也吓不倒他。首先，他故技重施:让1号房的客人移去2号房，2号房的客人移去4号房，3号房的客人移去6号房......移完之后，所有奇数号的房间都空了出来，酒店又有了无穷多间空房间。
但是，这么多间空房间真的够新客人居住吗?看起来有点儿悬，因为酒店需要接待的新客人的人数似乎是无穷大的平方。(因为酒店门口有无数辆客车，每辆客车里面又有无数位客人，所以客人的总数应该是无穷大乘以无穷大，虽然我们暂时不清楚无穷大乘以无穷大到底有多大。)
到了这一步，无穷大的逻辑似乎变得有点儿奇怪了。
那么希尔伯特酒店的经理到底应该如何安置这些新客人呢?我可以通过图示来让问题变得更直观一些。
当然，我无法画出一张有无穷多位客人的图，毕竟本书的篇幅不是无穷大的。而且，这张有限的图已经足够说明问题了。虽然图没有画全，但是我们知道，只要不断地增加图的行数和列数，任何一辆给定客车上的任何一位给定的客人(比如从路易斯维尔来度假的伊内兹女士)都会在这幅图的某一个位置上出现。从这个意义上来说，这张图已经描述了所有客人的情况。任何一位客人，只要你叫得出名字，我只需延展一下这张图，就一定能找到他的位置。
希尔伯特酒店的经理需要设计一种算法，通过这种算法，每个新客人最终都会被安排到一间空房间里去，在一位给定的客人被安顿下来之前，应该只有有限个步骤。
遗憾的是，希尔伯特酒店的经理没能理解这个算法的要求。他一直忙着安顿第一辆客车上的客人(这辆客车上有无穷多位客人)，而没空理会其他客车上的客人。所以，其他客车上的客人已经等得不耐烦了，他们开始叫骂，场面一片混乱。经理的算法可以用下图中的箭头表示:经理的算法可以用下图中的箭头表示:经理一直在安排第一辆客车上的客人，所以这是一条从西向东的直线，这条直线只穿过第一行。
为了控制混乱的场面，希尔伯特酒店赶紧又派来一位经理。这位经理非常聪明，他不是只安排第一辆客车上的乘客，而是从下图的一个角开始，沿着折线向前依次安排客人。
这位更聪明的经理最先安置1号客车上的1号客人，接着安置1号客车上的2号客人，再接着安排2号客车上的1号客人(上图中的第二条对角线)。随后他依次安置第3条对角线上的客人:3号客车上的1号客人、2号客车上的2号客人、1号客车上的3号客人。
希望看过上面这幅图以后，你已经搞清楚这位经理所用的方法了:沿着矩阵的一条条对角线依次安置客人，每个客人都能在有限的步骤之内被安排妥当。
通过这种算法，希尔伯特酒店又一次兑现了它的服务承诺:永远有空房!
我上面所说的算法，是无穷集合理论中的一种著名的算法。康托尔正是用这种算法证明了正分数(p/q,其中p、q为任意正整数)的数量和自然数(1，2，3，4......)的数量一样多。显然，这个命题比“正分数集和自然数集各自都有无穷多个元素”要强大很多。康托尔证明，正分数集和自然数集都有无穷多个元素，而且这两个无穷大是同等量级的无穷大，因为正分数集和自然数集的元素之间可以形成一种一一对应的关系。
这种一一对应的关系就好像一种择偶关系，每一个自然数都能找到自己的正分数，反之亦然。这种一一对应关系的存在与我们的常识和直觉是严重抵触的，所以，庞卡莱才会拒不接受这种理论，并认为它是一种诡辩。按照这种理论，我们可以在一张清单上极尽所能地列出所有正分数，但是我们却无法指出其中哪一个正分数是最小的，这真是令人抓狂。
事实上，在希尔伯特酒店里，这张清单已经列好了:正分数p/q相当于客车q上的客人p，酒店的房间号1、2、3、4......正是自然数集。那位聪明的酒店经理已经为我列好了一张一一对应的清单。
更让人震惊的是，康托尔还证明了“有一些无限集比另一些无限集要大”。比如，0和1之间的实数就是不可数的——0和1之间的实数无法与自然数建立起一一对应的关系。对于希尔伯特酒店来说，这意味着，如果所有0和1之间的实数都来到酒店前台要求人住，那么希尔伯特酒店就无法再维持自己“永远有空房”的服务承诺:有无数间房间的希尔伯特酒店，也住不下0和1之间的所有实数。
怎么证明这个结论呢?康托尔使用了矛盾法。首先，假设0和1之间的每个实数都能被安置在希尔伯特酒店的一间客房里。那么，此时希尔伯特酒店的房客登记簿应该是以下这种情况(用小数形式表示这些实数)。
房间1:0.670 811 234 5......
房间2:0.191 867 605 3......
房间3:0.437 285 467 5......
房间4:0.284 563 548 0......
记住，这个登记簿应该是一张安置下所有房客的清单。0和1之间的每一个实数都应该出现在这份清单的某个位置上(排在有限位上)。
康托尔证明，很多0和1之间的实数都不在这份清单上，这就是矛盾的地方。我们可以构造出一个不在上面这张清单上的实数，比如，我们用下面画线的数字组成一个新的实数。
房间1:0.6（6下面画线）70 811 234 5......
房间2:0.19（9下面画线）1 867 605 3......
房间3:0.437（7下面画线） 285 467 5......
房间4:0.284 5（5下面画线）63 548 0......
这个新的实数是0.6975....
但是，我们的工作到此还没有结束。下一步，我们把这个新实数的每一位都替换掉替换成一个和原来数字不同的1~8之间的数字。比如，我们可以把0.6975中的6换成3、9换成2、7换成5，诸如此类。
这样，我们就又得到了一个新的实数0.325.....。接下来，我们证明0.325这个实数肯定不在酒店客人的清单中。首先，0.325......肯定不在1号房里，因为1号房的房客小数点后第一位是6而不是3;然后，0.325......也肯定不在2号房里，因为0.325...的小数点后的第三位和2号房客的记录不符。一般情况下，0.325....不可能在第n号房间里，因为它小数点后第n位一定和n号房的房客不符。由此我们证明，0.325......这个数不存在希尔伯特酒店的任何一间房间里。
最终的结论是，希尔伯特酒店住不下0和1之间的所有实数。0和1之间的所有实数的数量实在是太多了，它们的数目是无穷大以外的无穷大。
让我们带着这个谦虚的理念，结束本书的数学之旅。在本书一开始，我曾提到过另一家虚拟酒店——“毛绒武器”饭店。芝麻街里的汉弗莱先生在“毛绒武器”饭店担任午餐服务员时，接到了一群饥饿的企鹅的订餐电话:“鱼、鱼、鱼、鱼、鱼、鱼。”在接下来的剧情中，汉弗莱先生认识到了数字的力量。
从企鹅吃鱼到无穷大，在数学的探索之旅上，我们已经不知不觉走了很远。感谢你陪我走过这段有趣的数学之旅，再见。