[打卡]读书打卡 第二天

二，函数的基本性质

一、有界性

如果存在正数M，使得对于所有的x，都有|f(x)|≤M，则称函数f(x)是有界的；否则，称函数f(x)是无界的。函数在x上有界的充分必要条件是它既有上界又有下界。有界性是函数值是否在一个有限范围内变化的特性，在函数分析和数学物理等领域中具有广泛应用。

二、单调性

单调性是函数的一个重要性质，它描述了函数值随着自变量增减而增减（或保持不变）的特性。如果在一个区间内，随着x的增大，f(x)也增大，则称函数在这个区间内单调递增；反之，如果随着x的增大，f(x)减小，则称函数在这个区间内单调递减。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。函数的单调性可以通过求导来判断，也可以利用定义证明。

三、奇偶性

奇偶性是函数的另一个重要性质，它描述了函数图像关于原点或y轴对称的特性。

- 如果对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数关于原点对称，其图像在绕原点旋转180度后不会改变。

- 如果对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。偶函数关于y轴对称，其图像在对y轴镜射后不会改变。

奇偶性不仅可以帮助简化函数的计算和绘图，还可以揭示函数的一些深层次性质。奇偶性在物理学和工程学等领域中具有广泛应用，例如在振动分析中，偶函数表示对称的振动模式，而奇函数则表示反对称的振动模式。

四、周期性

周期性是函数的一种特殊性质，它描述了函数值在一定间隔后重复出现的特性。如果存在一个正数T，使得对于所有的x，都有f(x + T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T是函数的周期。函数的周期性可以通过观察函数图像或计算函数值来判断。在某些情况下，函数的周期性可能不是显而易见的，需要通过数学变换或数值计算来揭示。

周期函数具有一些重要的性质：

- 若T（T≠0）是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。

- 若T（T≠0）是f(x)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(x)的周期。

- 若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期。

- 若f(x)有最小正周期T*，则f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

- 若T1、T2是f(x)的两个周期，且T*为无理数，则f(x)不存在最小正周期。

五、连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。连续的函数是当输入值的变化足够小时，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的微小变化会产生输出值的突然跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为不连续的函数。函数在定义域中的任意点处都连续，称为处处连续。连续性在函数分析中具有重要意义，它保证了函数在某些点附近的性质可以平滑地延伸到整个定义域上。