[打卡]读书打卡 第六天

函数连续性概念

设函数y = f(x)在点x_0的某一邻域内有定义，如果lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)，那么就称函数f(x)在点x_0连续。直观来说，函数在某点连续意味着函数在该点处的图像是不间断的。

间断点定义

设函数f(x)在点x_0的某去心邻域内有定义，若f(x)在点x_0处不连续，则称x_0为f(x)的间断点。间断点通常分为第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点（如无穷间断点、振荡间断点等）。

连续函数的性质

- 四则运算的连续性：若函数f(x)和g(x)在点x_0处都连续，则f(x)\pm g(x)，f(x)\cdot g(x)在点x_0处也连续；当g(x_0)\neq0时，\frac{f(x)}{g(x)}在点x_0处连续。

- 复合运算的连续性：设函数u = \varphi(x)在点x_0处连续，且varphi(x_0)=u_0，函数y = f(u)在点u_0处连续，则复合函数y = f[\varphi(x)]在点x_0处连续。

- 闭区间上连续函数的最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定能取得最大值M和最小值m，即存在x_1,x_2\in[a,b]，使得f(x_1)=M，f(x_2)=m。

- 闭区间上连续函数的介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)\neq f(b)，C为介于f(a)与f(b)之间的任意一个数，则在(a,b)内至少存在一点xi，使得f(\xi)=C。特别地，若f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一点xi，使得f(\xi)=0，这也称为零点定理。